Lie-Algebren

Zusammenfassung

Wir haben schon im ersten Kapitel gesehen, daß Lie-Algebren beim Studium lokal linearer Lie-Gruppen in natürlicher Weise auftreten. In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Strukturtheorie von endlichdimensionalen Lie-Algebren über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$. Es ist unabhängig von Kapitel I, aber in der Stoffauswahl haben wir uns von den Anwendungen auf die Strukturtheorie der Lie-Gruppen, wie wir sie im dritten Kapitel besprechen werden, leiten lassen. Insbesondere gehen wir nicht auf die Klassifikation der einfachen komplexen Lie-Algebren ein, die man in vielen Lehrbüchern (siehe z.B. [Hu72], [Bou75], [Ja62], [He78]) abgehandelt findet, ein. Im ersten Abschnitt geben wir die grundlegenden Definitionen und einige Prinzipien zur Konstruktion von Lie-Algebren an. Der zweite Abschnitt ist der Theorie der nilpotenten und auflösbaren Lie-Algebren gewidmet. Hauptergebnisse sind die Darstellbarkeit solcher Algebren durch Dreiecksmatrizen (zumindest im komplexen Fall) und das Cartan-Kriterium für die Auflösbarkeit von Lie-Algebren. Dieses wird im dritten Abschnitt dazu benützt, halbeinfache Lie-Algebren durch die Nichtausgeartetheit der Killing-Form zu charakterisieren. Wir zeigen weiter, daß jede halbeinfache Lie-Algebra die direkte Summe von einfachen Algebren ist und führen die Wurzelzerlegung bezüglich einer Cartan-Unteralgebra ein, die den Ausgangspunkt für die Klassifikation der einfachen Lie-Algebren darstellt. Im vierten Abschnitt besprechen wir Erweiterungen und Moduln von Lie-Algebren. Die zentralen Aussagen sind zwei Zerfällungssätze für kurze exakte Sequenzen, die als Korollare die Sätze von Levi (jede endlichdimensionale Lie-Algebra ist die halbdirekte Summe eines auflösbaren Ideals mit einer halbeinfachen Unteralgebra) und Weyl (jeder endlichdimensionale Modul über einer halbeinfachen Lie-Algebra ist direkte Summe von einfachen Moduln) haben. Zum Beweis der Zerfällungssätze führen wir in Abschnitt 5 Kohomologie von Lie-Algebren ein und zeigen, daß für halbeinfache Lie-Algebren die erste und zweite Kohomologie verschwindet.