Numerische Integrationsverfahren

Zusammenfassung

Wir haben uns im vorangegangenen Kapitel intensiv mit der Beschreibung dynamischer Systeme durch mathematische Modelle beschäftigt. Nachfolgend wollen wir uns nun der Frage widmen, wie wir die erhaltenen Modelle zur rechnergestützten Simulation nutzen können. Dazu beschränken wir uns auf die allgemeinste Darstellung in Form eines Systems von nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

$$ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\dot x} = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} ,\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u} ) $$

$$ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{y} = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{g} (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} ,\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u} ), $$

da sich — wie wir gesehen hatten — alle anderen Beschreibungsformen wie etwa Differentialgleichungen höherer Ordnung oder Übertragungsfunktionen ohne größeren Aufwand in diese Darstellung überführen lassen. Unsere Aufgabe soll dann darin bestehen, den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrößen $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} (t)$ und damit auch der Ausgangsgrößen $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{y} (t)$ des Systems bei bekannten Systemfunktionen $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f}$ und $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f}$ und bekanntem zeitlichen Verlauf der Eingangsgrößen $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u} (t)$ zu ermitteln. Dies soll jedoch nicht für beliebige Zeiten, sondern erst ab einem Zeitpunkt t > t₀ geschehen — wir sprechen in diesem Zusammenhang daher von einem Anfangswertproblem (AWP). Dazu muss uns der Zustand des Systems zu diesem Zeitpunkt — also $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} (t = t_0 )$ — ebenfalls bekannt sein.