Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Viele Sachverhalte in Naturwissenschaft und Technik lassen sich nicht durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben. Dieses leuchtet unmittelbar ein, da hierbei oft Funktionen eine Rolle spielen, die von mehreren Ortsvariablen und unter Umständen auch noch von der Zeit abhängen. So wird zum Beispiel die Temperatur in einem Zimmer im allgemeinen von den drei Ortsvariablen x,y,z sowie von der Zeitvariablen t abhängig sein. Zur Beschreibung solcher Sachverhalte dienen oft partielle Differentialgleichungen. In diesem und den folgenden drei Abschnitten wollen wir uns mit einer besonders wichtigen Klasse partieller Differentialgleichungen, nämlich denen der Ordnung 2,befassen. Wir betrachten partielle Differentialgleichungen der Form

$$ \sum\limits_{i,k=1}^n{{a_{ik}}}\frac{{{\partial^2}u}}{{\partial{x_i}\partial{x_k}}}=f $$

(1)

, wobei a_ik (mit a_ik = a_ki), i, k = 1,…,n und f gegebene Funktionen von x₁,…,x_n sowie von u und seinen partiellen Ableitungen ${u_{{x_1}}},\ldots,{u_{{x_n}}}$ sind.