Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente

Zusammenfassung

Der Grundgedanke der FE-Methode sei an einem einfachen Fachwerk (Bild 2–1) erläutert. Für dieses seien die Verschiebungen der Knotenpunkte und die Normalkräfte unter Wirkung von statischen äußeren Lasten gesucht. Ein Element wird hier von einem Zug-Druckstab mit gelenkigen Enden gebildet. Sein elastomechanisches Verhalten ist gekennzeichnet durch die Beziehung zwischen den Kräften f₁, f₂ und den Verschiebungen u₁, u₂ an den Stabenden. Die Verschiebungen nennt man auch Freiheitsgrade (FHG) des Stabelementes. Wir bemerken ferner, daß die Freiheitsgrade in Richtung der Stabachse angetragen sind. Die Stabachse stellt das sogenannte lokale Koordinatensystem dar. Außerdem definieren wir ein globales xy-Koordinatensystem, das die Richtung der Freiheitsgrade für das Gesamtsystem angibt. In dem lokalen Koordinatensystem können nun die Kraft-Verschiebungsbeziehungen nach den elementaren Beziehungen der Mechanik aufgestellt werden. Wenn man den Stab am linken Ende festhält (d.h. u₁ = 0) und eine Kraft f₂ anbringt (Bild 2–1c), ergibt sich für die Verschiebung u₂

$$ {u_2} = \frac{{{f_2}\ell }}{{EA}}\,\,\,oder\,\,\,{f_2} = \frac{{EA}}{\ell }{u_2} $$

(1a)

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