Aversion to Risk

Abstract

Aversion to risk is a central feature of decisions. This chapter introduces the mathematical interpretation of aversion to financial risk and insurance.

Appendix: Code for Figure 2

(*loop of insolvency values of the insurer*) Clear[x, y] y = 1; array1 = Table[y = y/2, {150}]; array2 = 1 - array1; loopsol =    Flatten@{Reverse@array1, Drop[array2, 1], 1(*drop the      duplicate 1/2, add a final 1*)}; (*loop of values of risk aversion*) Clear[x, y, ex] ex = 4; looprac =   Flatten@{0,     Table[x^ex , {x, .2^(1/ex), 32^(1/ex), (32^(1/ex) - .25^(1/ex))/      15}]}; mintarg = 0;(*solvency loop minimum*) maxtarg = .9999999999;(*solvency loop maximum*) ni = 100;(*number of insured*) ps = .5;(*probability of success of each insured, i.e., probability of the gamble winning, of not suffering harm but having gain*) (*set premium so that the insurer becomes insolvent with only target (say 1%) probability: for how many wins is the CDF[Binomial[ ],wins] equal to target?*) target =.; cra =.; w0 = 3;(*initial wealth of each insured*) wg = 1;(*size of wager of each insured in the double or nothing risk/venture*) ci = .25;(*cost of insolvency, fraction lost to lawyers and auctioneers*) surfc = Table[{  x = ni;  While[CDF[BinomialDistribution[ni, ps], x] > target, x–];  pm = (wg (ni - x))/ni;(*premium payment by each insured*)  (*Print[“The probability of failure is under ”,target 100,”% at ”,  x,” wins, at most. The payment is ”,pm//N,”.”]*)  wt[target] = x;(*store the breakeven wins*)  x =.;  mibi = ni - (ni pm)/wg;(*equal to wt[target];   number of wins making the mutual insurance barely insolvent,   result of Solve[wg (ni-x)\[Equal]ni pm,x], i.e.,     how many wins make the lost wagers equal to the assets of the insurer?*)    (*if fewer than mibi wins,     then the losers suffer uncompensated harm.     In these cases we need the amount of the uncompensated harm. The assets of the mutual insurer, ni pm, reduced by the cost of insolvency ci to (1-ci)ni pm, are divided proportionately among the number of actual non-wins, ni-wins; therefore instead of losing wg they lose wd minus the distributed assets.*)    uh = wg - ((1 - ci) ni pm)/(ni - wins);(*uncompensatd harm. the lost wager reduced by the distributed assets, which are the assets of the insurer ni pm divided by the losses, ni-wins; Verification: should be zero when wins=   mibi except in the case of no insurance, target=1, when it will be 1.*)    lii = w0 - uh - pm;(*wealth of losers if the insurer becomes insolvent*)    (*the rest of the time, with probability wins/ni,     the insured wins and ends up with wealth w0   +   wg-pm*)    wii = w0 + wg - pm;(*winning insured wealth if the insurer becomes insolvent*)    wmni = (ni pm - (ni - wins) wg)/ni;(*per insured wealth of mutual insurer if it does not become insolvent, after if compensates all harmed insureds, distributed to the ni members. Becomes zero if the number of wins is mibi*)    wis = w0 + wg - pm + wmni;(*wealth of winners if the insurer stays solvent, i.e., for wins>mibi*)    lis = w0 - pm + wmni;(*wealth of losers if the insurer stays solvent, i.e., for wins>mibi; note: the insurance is full, compensating their entire loss, else we would need to subtract a deductible*)    eu = Sum[      PDF[BinomialDistribution[ni, ps], wins] If[        wins <= wt[target](*mibi*),        (ni - wins)/ni u[lii, cra]  +         wins/ni u[wii, cra], (ni - wins)/ni u[lis, cra] +          wins/ni u[wis, cra]],      {wins, 0, ni}];(*expected utility: probabilty of being a loser or a winner, times the resulting utility of wealth*)    (*corrsponding certainty-equivalent wealth*)    Off[Solve::ifun];    ceiA =      x /. (Solve[u1[x, a] == eu, x] //          Simplify)[[1]];(*certainty equivalent*)    cei1 =      x /. (Solve[u2[x] == eu, x] //          Simplify)[[1]];(*certainty equivalent if a=1*)    twi = If[cra == 1, cei1,       ceiA /. a -> cra];(*get certainty equivalent*)    (* get certainty equivalent with no insurance:*)    cea = x /. (Solve[          u1[x, a] == (1 - ps) u1[w0 - wg, a]    +    ps u1[w0    +    wg, a], x] //          Simplify)[[1]];    ce1 = x /. (Solve[u2[x] == (1 - ps) u2[w0 - wg] + ps u2[w0 + wg],           x] // Simplify)[[1]];    On[Solve::ifun];    tw = If[cra == 1, ce1,       cea /. a -> cra];(*get certainty equivalent*)    cra, target, twi - tw},   {cra, looprac}, {target, loopsol}]; mincex = 0; maxcex = 32; mincey = 0; maxcey = maxtarg; mincez = 0; \ maxcez = .55; inswelfeff1 = Graphics3D[{Black,    Line /@ surfc,    Line /@ Transpose@surfc, (*labels*)    Text[“Risk Av’n Coeff’t”, {.82 maxcex, mincey, mincez    +    .025}],    Text[“Insolv’cy %”, {mincex, .8 maxtarg, mincez + .03}],    Text[“Gain in Cert. Equiv’t”, {0, -.03, .75 maxcez}],    Thickness[.002],(*axes*)    Line[{{mincex, mincey, mincez}, {maxcex, mincey, mincez}}],    Line[{{mincex, mincey, mincez}, {mincex, maxcey, mincez}}],    Line[{{mincex, mincey, mincez}, {mincex, mincey, maxcez}}],    Thickness[.004],    Line[surfc[[1]]],    Line[surfc[[7]]],    Line[surfc[[-1]]]    },   BoxRatios -> {1, 1, .6}, Boxed -> False,   ImageSize -> 7 imgsz,   BaseStyle -> fntandsz,   ViewPoint -> {1.75, -3, .65}]