Abstract
The primary role played by analogy in Henri Poincaré’s work, and in particular in his “analysis situs” papers, is emphasized. Poincaré’s “sixth example” (showing that Betti numbers do not suffice to classify 3-manifolds) and his construction of the homology sphere are discussed in detail.
This paper is partly based on my previous paper “‘Ragionare bene su figure disegnate male’: la nascita della topologia algebrica”, Lettera Matematica, 84–85 (2013), pp. 22–31. It is a great pleasure to thank the organizers of the International Colloquium “The Philosophers and mathematics” (Lisboa, October 29–30, 2014), in particular Hassan Tahiri. I also thank the anonymous referee for his/her helpful remarks. Finally, I am glad to take the opportunity to acknowledge my intellectual debt to professor Roshdi Rashed for his inspirational work on the history of mathematics, always carried out with admirable rigor and in a broad cultural perspective.
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Notes
- 1.
I shall make reference to the following standard editions of Poincaré’s works: La science et l’hypothèse (1902c), préface de Jules Vuillemin, Flammarion, Paris 1968 (which reproduces the text of the second edition, published in 1907); La valeur de la science, préface de Jules Vuillemin, Flammarion, Paris 1970; Science et méthode, Flammarion, Paris (1908); Œuvres, 11 vv., various eds., Gauthier-Villars, Paris (1916–1956). I have used the following English translations: Science and Hypothesis, translated by W. J. G., with a preface by J. Larmor, The Walter Scott Publishing Co., London & Newcastle-on-Tyne (1905); The value of Science, translated by George Bruce Halsted, Dover, New York 1958 (originally published in 1958 by Science Press in Foundations of Science); Science and Method, translated by Francis Maitland, with a preface by B. Russell, Thomas Nelson and Sons, London, Edinburgh, Dublin & New York (1914). I shall quote from these works (recently reprinted in The Value of Science. The Essential Writings of H. Poincaré, The Modern Library, New York 2001) by using the acronyms SH, VS, and SM followed by the page number. As for the paper “Analysis situs” and its five supplements, I have used the English translation provided in H. Poincaré, Papers in Topology, edited by John Stillwell, American Mathematical Society Chelsea Publishing, Providence (RI) & Mathematical Society, London 2010 (with slight modifications, when necessary); only the page number of the original texts will be given.
- 2.
SM, p. 34; “la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes”, Science et méthode, cit., p. 29. The chapter “L’avenir des mathématiques” is based on the address prepared for the 4th International Congress of Mathematicians, held in Rome, April 6–11, 1908 (the address was read by Gaston Darboux, as Poincaré lay ill at his hotel during the whole conference). The original text, longer than that published in Science et méthode, appeared in Atti del IV Congresso internazionale dei matematici, G. Castelnuovo ed., Tipografia della Reale Accademia dei Lincei, Roma (1909), pp. 167–182, and in several journals: Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 16 (1908), pp. 152–168; Revue générale des sciences pures et appliquées, 19 (1909), pp. 930–939; Scientia. Rivista di scienza, 2nd year, 3 (1908), pp. 1–23; Bulletin des sciences mathématiques, 2nd ser., 32 (1908), pp. 168–190.
- 3.
SH, p. 20; “Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par des autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse”, La science et l’hypothèse, cit., p. 49. The passage is excerpted from the chapter “La grandeur mathématique et l’expérience”, which is based on the paper “Le continu mathématique”, Revue de métaphysique et de morale, 1 (1893), pp. 26–34.
- 4.
SM, p. 35; “Nous savons maintenant que dans un groupe la matière nous intéresse peu, que c’est la forme seule qui importe”, Science et méthode, cit., p. 30.
- 5.
“[H]oméomorphes, c’est-à-dire de forme pareille”, “Analysis situs”, Journal de l’École Polytechnique, 1 (1895), pp. 1–121 = Œuvres, vol. VI, pp. 193-288; the quote is at p. 199 (Poincaré’s italics).
- 6.
“[S]i l’on peut passer de l’une à l’autre par une transformation birationnelle, à coefficients entiers ou rationnels”, “Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 5th ser., 7 (1901b), pp. 161–233 = Œuvres, vol. V, pp. 483–550; the quote is at p. 484 (Poincaré’s italics).
- 7.
“Qu’est-ce en effet une géométrie? C’est l’étude d’un groupe d’opérations formé par les déplacements que l’on peut faire subir à une figure sans la déformer. Dans la géométrie euclidienne ce groupe se réduit à des rotations et à des translations. Dans la pseudogéométrie de Lobatchewski [sic] il est plus compliqué.”, Trois suppléments sur la découverte des fonctions fuchsiennes, J. Gray and S. A. Walters eds., Akademie Verlag, Berlin & Albert Blanchard, Paris (1997), p. 35 (Poincaré’s italics). It is worth observing that, at that time, Poincaré was completely unaware of Felix Klein ’s Erlanger programm.
- 8.
SM, p. 29; “tâtonnements” Science et méthode, cit., p. 24.
- 9.
VS, p. 79; “l’harmonie cachée des choses”, La valeur de la science, cit., p. 108.
- 10.
VS, p. 77; “Qui nous a appris à connaître les analogies véritables, profondes, celles que les yeux ne voient pas et que la raison devine? C’est l’esprit mathématique, qui dédaigne la matière pour ne s’attacher qu’à la forme pure. C’est lui qui nous a enseigné à nommer du même nom des êtres qui ne diffèrent que par la matière, à nommer du même nom par exemple la multiplication des quaternions et celle des nombres entiers.”, La valeur de la science, cit., p. 106.
- 11.
Édouard Toulouse, Enquête médico-psychologique sur la superiorité intellectuelle: Henri Poincaré , Flammarion, Paris (1910), p. 1.
- 12.
Toulouse, op. cit., p. 66.
- 13.
- 14.
“On sait quelle est l’utilité des figures géométriques dans la théorie des fonctions imaginaires et des intégrales prises entre des limites imaginaires, et comment on regrette leur concours quand on veut étudier, par exemple, les fonctions de deux variables complexes. Cherchons à nous rendre compte de la nature de ce concours; les figures suppléent d’abord à l’infirmité de notre esprit en appelant nos sens à son secours; mais ce n’est pas seulement cela. On a bien souvent répété que la Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites; encore ces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines conditions; les proportions peuvent être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées. L’emploi des figures a donc avant tout pour but de nous faire connaître certaines relations entre les objets de nos études, et ces relations sont celles dont s’occupe une branche de la Géométrie que l’on appelée Analysis situs, et qui décrit la situation relative des points des lignes et des surfaces, sans aucune considération de leur grandeur.”, “Analysis situs”, cit., p. 194.
- 15.
Journal de mathématiques pures et appliquées, 3rd ser., 8 (1882a), pp. 251–296 = Œuvres, vol. I, pp. 44–84.
- 16.
Ibid., p. 56.
- 17.
Acta mathematica, 1 (1882b), pp. 1–62 = Œuvres, vol. II, pp. 108–168.
- 18.
“Ce qui m’embarrasse, c’est que je serai obligé de mettre beaucoup de figures, justement parce que je n’ai pu arriver à une règle générale, mais que j’ai seulement accumulé les solutions particulières”, “Sur un théorème de géométrie”, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 33 (1912), pp. 375–407 = Œuvres, vol. VI, pp. 499–538. Poincaré’s “last geometric theorem” (stating that any homeomorphism of the annulus into itself that is area- and orientation-preserving and rotates the outer boundary circle clockwise and the inner boundary circle anticlockwise has at least two fixed points) was proved, in full generality and through different methods, by George David Birkhoff in (1913). Though incomplete, Poincaré’s proof was basically correct, as shown by C. Golé and G. R. Hall in their paper “Poincaré’s proof of Poincaré’s last geometric theorem”, in Twist Mappings and Their Applications, R. McGehee & K. R. Meyers eds., Springer-Verlag, New York (1992), pp. 135–151.
- 19.
Le livre du centenaire de la naissance de Henri Poincaré , 1854–1954, Gauthier-Villars, Paris (1955), p. 296.
- 20.
J.-L. Lagrange, Méchanique analytique, chez la veuve Desaint, Paris (1788), p. vi.
- 21.
Precisely, there are 4 figures in the first, 3 in the second, and 12 in the third volume of the work.
- 22.
“Que l’on cherche à se représenter la figure formée par ces deux courbes et leurs intersections en nombre infini dont chacune correspond à une solution doublement asymptotique, ces intersections forment une sorte de treillis, de tissu, de réseau à mailles infiniment serrées; chacune des deux courbes ne doit jamais se recouper elle-même, mais elle doit se replier sur elle-même d’une manière très complexe pour venir recouper une infinité de fois toutes les mailles du réseau. On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n’est plus propre à nous donner une idée de la complication du problème des trois corps et en général de tous les problèmes de Dynamique où il n’y a pas d’intégrale uniforme et où les séries de Bohlin sont divergentes.”, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Tome III. Invariants intégraux—Solutions périodiques de deuxième genre—Solutions doublements asymptotiques, Gauthier-Villars, Paris (1899a), p. 389.
- 23.
“Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (première partie)”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 3rd ser., 7 (1881a), pp. 375–422 = Œuvres, vol. I, pp. 3–44; “Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (deuxième partie)”, cit.; “Sur les courbes définies par les équations différentielles (première partie)”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 4th ser., 1 (1885), pp. 167–244 = Œuvres, vol. I, pp. 90–161; “Sur les courbes définies par les équations différentielles (deuxième partie)”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 4th ser., 2 (1886), pp. 151–217 = Œuvres, vol. I, pp. 167–222.
- 24.
“Sur les courbes définies par les équations différentielles (première partie)”, cit., p. 125. This result (known today under the name of Poincaré-Hopf theorem) had previously been stated in the short research announcement “Sur les courbes définies par une équation différentielle”, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 93 (1881b), pp. 951–952 = Œuvres, vol. I, pp. 85–85. For some comments about Poincaré’s qualitative approach to differential equations see C. Bartocci, “Introduzione”, in H. Poincaré, Geometria e caso. Scritti di matematica e fisica, Bollati Boringhieri, Torino (1995) (repr. 2013), pp. vii–l.
- 25.
“La Géométrie n’est plus alors qu’un language qui peut être plus ou moins avantageux, ce n’est plus une représentation parlant aux sens. Nous pourrons néanmoins être conduits à employer quelquefois ce language.”, “Sur les courbes définies par les équations différentielles (deuxième partie)”, cit., p. 168.
- 26.
“[…] ce qui nous ces solutions périodiques si précieuses, c’est qu’elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable”, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Tome I. Solutions périodiques—Non-existence des intégrales uniformes—Solutions asymptotiques, Gauthier-Villars, Paris (1892a), p. 82.
- 27.
“L’Analysis situs est la science qui nous fait connaître les propriétés qualititaves des figures géométriques non seulement dans l’espace ordinaire, mais dans l’espace à plus de trois dimensions.”, “Analyse de ses travaux scientifiques faite par H. Poincaré”, Acta mathematica, 38 (1921), pp. 36–135 (posthumously published, but written down by Poincaré in 1901); the quote is at p. 100.
- 28.
“[Ê]tre bien persuadé de l’extrême importance de cette science”, ibid., p. 100.
- 29.
“Quant à moi, toutes les voies diverses où je m’étais engagé successivement me conduisaient à l’Analysis Sitûs. J’avais besoin des données de cette science pour poursuivre mes études sur les courbes définies par les équations différentielles […] et pour les étendre aux équations différentielles d’ordre supérieur et en particulier à celles du problème des trois corps. J’en avais besoin pour l’étude des fonctions non uniformes de 2 variables. J’en avais besoin pour l’étude des périodes des intégrales multiples et pour l’application de cette étude au développement de la fonction perturbatrice. Enfin j’entrevoyais dans l’Analysis Sitûs un moyen d’aborder un problème important de la théorie des groupes, la recherche des groupes discrets ou des groupes finis contenus dans un groupe continu donné.”, ibid., p. 101.
- 30.
“[L]a Science dont l’objet est l’étude [du] groupe [des homéomorphismes]”, “Analysis situs”, cit., p. 198. As for the meaning of the words variété and homéomorphisme”, see note 41.
- 31.
Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Classe, 17 (1863), pp. 31–68 = Gesammelte Werke, vol. II, herausgegeben von F. Klein, Hirzel, Leipzig 1886, pp. 433–471.
- 32.
Reprinted in B. Riemann, Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftlicher Nachlass und Nachträge/Collected Papers, nach der Ausgabe von H. Weber und R. Dedekind, neu herausgegeben von Raghavan Narasimhan, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg—Teubner, Leipzig (1990), pp. 35–77.
- 33.
This result, valid for any compact Riemann surface, was proved by Riemann in his pioneering (and somewhat cryptic) paper “Theorie der Abel’schen Functionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 54 (1857), pp. 115–155 = Gesammelte Mathematische Werke…, cit., pp. 88–142. For a detailed account of Riemann’s geometric function theory see U. Bottazzini & J. Gray, Hidden Harmony—Geometric Fantasies. The Rise of Complex Function Theory, Springer, New York (2013), Chap. 5. The word “genus” was introduced by Rudolf Friedrich Alfred Clebsch in his paper “Über die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 63 (1864), pp. 189–243.
- 34.
Jean-Claude Pont (La topologie algébrique des origines à Poincaré, Presses Universitaires de France, Paris 1974, p. 97) argues that this was not the case.
- 35.
“Des contours tracés sur les surfaces”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 2nd ser., 11 (1866), pp. 110–130.
- 36.
“On the canonical form and dissection of a Riemann’s surface”, Proceedings of the London Mathematical Society, 8 (1877), pp. 292–304 = Mathematical Papers, edited by R. Tucker, Macmillan, London 1882 (reprinted AMS Chelsea Publishing, Providence (RI) 2007), pp. 241–254. It may be of some interest to note that, in this paper, Clifford proved what is now known as the Riemann-Hurwitz formula (the formula in itself being usually attributed to Hurwitz, who obtained it in 1893): “an n-sheeted Riemann’s surfaces with w branch-points may be transformed, without tearing, into the surface of a body with \( p = \frac{1}{2}w - n + 1 \), holes in it” (Clifford’s italics), op. cit., p. 251.
- 37.
Annali di matematica pura e applicata, 2nd ser., 4 (1871), pp. 140–158 = Opere matematiche, vol. II, Hoepli, Milano 1871, pp. 273–290.
- 38.
“On the ‘Analysis situs’ of threedimensional spaces”, Report of the Fifty-fourth Meeting of the British Association for the Advancement of Science held at Montreal in August and September 1884, John Murray, London (1885), p. 648.
- 39.
“On peut se demander si les nombres de Betti suffisent pour déterminer une surface fermée au point de vue de l’Analysis situs, c’est-à-dire si, étant données deux surfaces fermées qui possèdent || mêmes nombres de Betti, on peut toujours passer de l’une à l’autre par voie de déformation continue.”, “Sur l’analysis situs”, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 115 (1892c), pp. 603–606 = Œuvres, vol. VI, pp. 189–192 (the quote is at pp. 189–190).
- 40.
A History of Algebraic and Differential Topology, Birkhäuser, Basel-Boston (1989), p. 28.
- 41.
Accurate accounts, each focusing on different aspects of Poincaré’s work, are provided in: Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology, cit., chap. I; Erhard Scholz, Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincaré, Birkhäuser, Boston-Basel-Stuttgart (1980), chap. VII; K. S. Sarkaria, “The topological work of Henri Poincaré ”, in History of Topology, edited by I. M. James, Elsevier, Amsterdam (1999), pp. 121–167; Klaus Volkert, Das Homöomorphismusproblem insbesondere der 3-Mannigfaltigkeiten, in der Topologie 1892–1935, Kimé, Paris (2002); Jeremy Gray, Henri Poincaré . A Scientific Biography, Princeton University Press, Princeton (NJ) and London (2013), Chap. 8.
- 42.
In actual fact, Poincaré gives two different definitions of variété. According to the first definition, a variété is a subspace of \( {\mathbb{R}}^{n} \) determined by a system of equations (satisfying suitable conditions of regularity) and inequalities; in modern terminology, one would call it an immersed C1 submanifold of \( {\mathbb{R}}^{n} \), possibly with boundary and with some mild singularities. According to the second broader definition, instead, the spaces to be studied are chaînes continues of variétés of the same dimension n pairwise glued together along a common smooth part of dimension n, or, more generally, réseaux continus of variétés. A réseau continu of variétés corresponds more or less to what today is called a “C1 manifold” (with or without boundary), possibly with some singularities (for example, some of the spaces discussed by Poincaré in §15 are orbifolds). Poincaré’s notion of homéomorphisme corresponds to that of C1 diffeomorphism.
- 43.
“Nous dirons que les varietiés \( v_{1} ,v_{2} , \ldots , v_{\lambda } \) d’un même nombre de dimensions et faisant partie de V, sont linéairement indépendentes, si elles ne sont liées par aucune homologie à coéfficients entiers. S’il existe \( P_{m - 1} \) variétés fermées à m dimensions faisant partie de V et linéairement indépendentes et s’il n’en existe que \( P_{m - 1} \), nous dirons que l’ordre de connexion de V par rapport aux variétés à m dimensions est égal à \( P_{m} \).”, “Analysis situs”, cit., p. 207 (Poincaré’s italics).
- 44.
Acta mathematica, 9 (1887), pp. 321–380 = Œuvres, vol. III, pp. 440–489.
- 45.
É. Cartan, “Sur le nombres de Betti des espaces de groupes clos”, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 187 (1928), pp. 196–198.
- 46.
G. de Rham, “Sur l’analysis situs de variétés à n dimensions”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 9th ser., 10 (1931), pp. 115–200; the essential new tool in de Rham’s proof is the notion of current. The theorem proved by de Rham can be stated in the following way: for every closed and orientable differentiable manifold of dimension n, the dimension (over \( {\mathbb{Z}} \)) of the k-th homology group with integer coefficients is equal to the dimension (over \( {\mathbb{R}} \)) of the vector space consisting of degree k closed differential forms modulo degree k exact differential forms, for all \( k = 0, \ldots n. \) The latter vector spaces are now (rather preposterously) called “de Rham cohomology groups”. De Rham’s proof cannot be considered “complete” because it takes as an assumption that every closed manifold admits a cellular decomposition. Poincaré himself had attempted to prove this fact in his “Complément à l’‘analysis situs’”, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899d), pp. 285-343 = Œuvres, vol. VI, pp. 290–337; a proof was first provided by John Henry C. Whitehead in his paper “On C1-complexes”, Annals of Mathematics, 2nd ser., 41 (1940), pp. 809–824.
- 47.
“Par conséquent, pour une variété fermée, les nombres de Betti également distants des extrêmes sont égaux.”, “Analysis situs”, cit., p. 228.
- 48.
History of Algebraic and Differential Topology, cit., p. 221.
- 49.
Poincaré himself uses the verb coller (“Analysis situs”, cit., p. 237).
- 50.
“Il y a une manière de se représenter les variétés à trois dimensions situées dans l’espace à quatre dimensions, manière qui en facilite singulièrement l’étude.”, “Analysis situs”, cit., p. 229.
- 51.
“L’analogie avec la théorie des groupes fuchsiens est trop évidente pour qu’il soit nécessiare d’insister; je me bornerai à un seul exemple”, ibid., p. 237.
- 52.
Cit.
- 53.
“Lorsque le point M, partant de sa position initiale M0, reviendra à cette position, après avoir|| parcoru un chemin quelconque, il pourra se faire que les fonctions F ne reviennent pas à leurs valeurs primitives.”, “Analysis situs”, cit., pp. 239–240.
- 54.
“Pour que deux variétés fermées soient homéomorphes, il ne suffit donc pas qu’elles aient mêmes nombres de Betti.”, ibid., p. 257 (Poincaré’s italics).
- 55.
Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhaeng, Det Nordiske Forlag, København 1898; French translation revised by the author, “Sur l’‘Analysis situs’”, Bulletin de la Société mathématique de France, 44 (1916), pp. 161–242.
- 56.
The “Heegaard diagrams” are still in use today.
- 57.
Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhaeng, cit., p. 5.
- 58.
Ibid., p. 72 (Heegaard’s italics).
- 59.
“Ces critiques sont en partie fondées; le théorème n’est pas vrai des nombres de Betti tels que Betti les définit; c’est ce qui résulte d’un exemple cité par M. Heegaard; c’est ce qui résultait d’un exemple que j’avais moi-même rencontré dans mon Mémoire. Le théorème est vrai, au contraire, des nombres de Betti tels que je les définis; j’en trouvé une démonstration qui est fondée sur la considération des polyèdres a n dimensions et que je développerai prochainement dans un Mémoire plus étendu.”, “Sur les nombres de Betti”, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 128 (1899c), pp. 629–630 = Œuvres, vol. VI, p. 289.
- 60.
See note 45.
- 61.
Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pp. 277–308 = Œuvres, vol. VI, pp. 338–370.
- 62.
A variété à torsion is, in modern terminology, a manifold whose homology groups with integer coefficients contain torsion elements. Given a polyhedral decomposition of a manifold M, the associated tableau d’incidence Tq (0 < q < dim M) can be tought of as a matrix whose columns correspond to the oriented q-polyhedra of the decomposition and whose rows correspond to the (q-1)-polyhedra; at each intersection of a row and column one places either 0, 1, or −1, depending whether, respectively, the (q-1)-polyhedron is not a face of the q-polyhedron, is a face and has the same orientation, or is a face and has the opposite orientation.
- 63.
“Tout polyhèdre qui a tous ses nombres de Betti égaux à 1 et tous ses tableaux \( T_{q} \) bilatères est simplement connexe, c’est-à-dire homéomorphe à l’hypersphère” (Poincaré’s italics). If a polyhedron has all its “tableaux \( T_{q} \) orientable (bilatères)”, then it has no torsion coefficients in its homology groups (“Second complément à l’‘analysis situs’”, cit., p. 307); in Poincaré’s terminology, a manifold is “simplement connexe” if its fundamental group is trivial.
- 64.
Cf. Imre Lakatos, Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery, edited by J. Worrall and E. Zahar, Cambridge University Press, Cambridge (1976) (see, in particular, p. 42).
- 65.
“Sur certaines surfaces algébriques. Troisième complément à l’‘analysis situs’”, Bulletin de la Société mathématique de France, 30 (1902a), pp. 49–70 = Œuvres, vol. VI, pp. 373–392; “Sur les cycles des surfaces algébriques. Quatrième complément à l’‘analysis situs’”, Journal de mathématiques pures et appliquées, 5th ser., 8 (1902b), pp. 169–214 = Œuvres, vol. VI, pp. 397–434.
- 66.
See Émile Picard & Georges Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux variables complexes, tome I, Gauthier-Villars, Paris (1897) (in particular, chap. IV).
- 67.
Cf. Simon K. Donaldson, “One hundred years of manifolds topology”, in History of topology, cit., p. 436.
- 68.
“Cinquième complément à l’‘analysis situs’”, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 18 (1904a), pp. 45–110 = Œuvres, vol. VI, pp. 435–498.
- 69.
“Quand t variera d’une manière continue de \( - \infty \) à \( + \infty \), le système \( W(t) \) variera d’une manière continue et engendra la variété V. Si la variété V est fermée, les variétés \( w_{1} \left( t \right), w_{2} \left( t \right), \ldots ,w_{p} \left( t \right) \) le seront également.”, ibid., p. 436 (Poincaré’s italics).
- 70.
“Dans ces conditions, quand t variera d’une manière continue, les points représentatifs des \( p \) variétés \( w_{1} \left( t \right), w_{2} \left( t \right), \ldots ,w_{p} \left( t \right) \) engendreront p lignes continues \( L_{1} ,L_{2} , \ldots ,L_{p} \); du moins tant que le nombre \( p \) ne varie pas. Mais ce nombre peut varier pour \( t = t_{0} \), si l’une des variétés se décompose en deux, ou si, au contraire, deux variétés se réunissent en une seule. Dans le premier cas l’une des lignes \( L \) se bifurque, dans le second deux des lignes \( L \) se réunissent en une seule.”, ibid., p. 437.
- 71.
See, for example, “Les formes d’équilibre d’une masse fluide en rotation”, Revue générale des sciences pures et appliquées, 3 (1892b), pp. 809–815 = Œuvres, vol. VII, pp. 529–537; “Sur l’équilibre d’un fluide en rotation”, Bulletin astronomique, 16 (1899b), pp. 161–169 = Œuvres, vol. VII, pp. 151–158; “Sur la stabilité de l’équilibre des figures piriformes affectées par une masse fluide en rotation”, Philosophical Transactions, 198 A (1901a), pp. 333–373 = Œuvres, vol. VII, pp. 161–162.
- 72.
“Si nous suivons l’une de ces lignes \( L_{1} \), par exemple, décrite par le point représentitif de \( w_{1} \left( t \right) \), nous voyons que cette variété \( w_{1} \left( t \right) \) reste constamment homéomorphe à elle-même (et cela de telle façon que sur les deux variétés trè voisines \( w_{1} \left( t \right) \) et \( w_{1} \left( t \right) + \varepsilon \), deux points correspondants diffèrent très peu l’un de l’autre) tant que l’on ne passe pas par une valeur de \( t \) telle que \( w_{1} \left( t \right) \) ait un point singulier. Nous devons donc marquer sur les lignes de notre réseau les points qui correspondent aux variétés \( w\left( t \right) \) qui ont des points singuliers. Ce seront des points de division qui partegeront nos lignes en tronçons, mais tant qu’on suivra l’un de ces tronçons, la variété \( w\left( t \right) \) correspondante restera homéomorphe à elle-même.”, “Cinquième complément à l’‘analysis situs’”, cit., p. 437 (Poincaré’s italics).
- 73.
See, for example, John Milnor, Morse Theory, based on lectures notes by M. Spivak and R. Wells, Princeton University Press, Princeton (NJ) (1969), p. 6.
- 74.
See “Cinquième complément à l’‘analysis situs’”, cit., p. 439.
- 75.
“Si […] V a deux dimensions et est bilatère, son squelette n’aura d’autre point singulier que les culs de sac et les bifurcations”, ibid., p. 443.
- 76.
Poincaré’s argument follows more or less the same guidelines as the “modern” Morse theoretic proof of the classification theorem for topological surfaces; cf. M. W. Hirsch, Differential Topology, Springer-Verlag, New York (1976), Chap. 9.
- 77.
“[D]ont tous les nombres de Betti et les coéfficients de torsion sont égaux à 1, et qui pourtant n’est pas simplement connexe”, “Cinquième complément à l’‘analysis situs’”, cit., p. 436.
- 78.
Ibid., p. 490.
- 79.
“Les arcs qui représentent \( K_{1}^{{{\prime \prime }}} \) sont en trait plein; ceux qui représentent \( K_{2}^{{{\prime \prime }}} \) sont en trait pointillé. Une pointe de flêche placée sur le trait lui-même indique dans quel sens ce trait doit être parcouru.”, ibid., p. 494.
- 80.
“[L]es relations de structure qui ont lieu entre les deux substitutions C2 et C4 qui engendrent le groupe icosaédrique”, ibid., p. 498 (see notes 81 and 82).
- 81.
“Le groupe fondamental de V ne saurait se réduire à la substitution identique, puisqu’il contient comme sous-groupe le groupe icosaédrique.”, ibid.
- 82.
Klein gives a description of the icosahedral group as the group generated by the operation \( S \), \( T \) with the relations \( S^{5} = 1 \), \( T^{2} = 1, \) \( (ST)^{3} = 1 \) (in multiplicative notation; see Vorlesungen über das Ikosaeder…, cit., p.41); by letting \( C_{2} = S \) and \( C_{4} = ST \), one obtains Poincaré’s relations (in additive notation). The same relations had been previously derived by William Rowan Hamilton in his papers “Memorandum respecting a new system of roots of unity”, The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4th ser., 12 (1856), p. 446 and “Account of the icosian calculus”, Proceedings of the Royal Irish Academy, 6 (1858), pp. 415–416.
- 83.
Let us briefly review a possible realization of Poincaré’s homology sphere using the language and tools of differential topology. The icosahedral group \( I \) is the symmetry group of the icosahedron; it is isomorphic to the group of even permutations of \( 5 \) elements, i.e., the alternating group \( A_{5} \). The group \( I \) is of order \( 60 \), simple (i.e., it does not contain any proper normal subgroup) and perfect (i.e., \( \left[ {I,I} \right] = I \)); it admits the presentation \( \left\langle {x,y|\left( {xy} \right)^{2} = x^{3} = y^{5} = 1} \right\rangle \). Since the isometries of the icosahedron are proper rotations, there is a natural immersion \( I \subset {\text{SO}}\left( 3 \right) \). Let us consider the double cover \( {\text{SU}}\left( 2 \right) \to {\text{SO}}\left( 3 \right) \) and denote by \( I^{*} \) the inverse image of I. The group \( I^{*} \)—called the binary icosahedral group—is of order 120 and perfect, but no longer simple (its center is the group of the two elements \( \left\{ {1, - 1} \right\} \)); it admits the presentation \( \langle x,y| \left( {xy} \right)^{2} = x^{3} = y^{5} \rangle \). Now \( {\text{SU}}\left( 2 \right) \) is homeomorphic to the three-dimensional sphere \( {\text{S}}^{3} \) and it can be shown that the quotient space \( {\text{SU}}\left( 2 \right)/I^{*} \) is smooth. The fundamental group of \( {\text{SU}}\left( 2 \right)/I^{*} \) is, of course, \( I^{*} \); by the Hurewicz theorem, its first homology group is the abelianization of \( I^{*} \), namely \( I^{*} /\left[ {I^{*} ,I^{*} } \right] = 0 \); moreover, one can prove that \( H_{2} \left( {{\text{SU}}\left( 2 \right)/I^{*} ,{\mathbb{Z}}} \right) = 0 \) (this follows from the fact that \( I^{*} \) is superperfect). In conclusion, the manifold \( {\text{SU}}\left( 2 \right)/I^{*} \) is an integral homology sphere, actually homeomorphic to Poincaré’s example \( V \). For further details see R. C. Kirby & M. G. Scharlemann, “Eight faces of the Poincaré homology sphere”, in Geometric Topology. Proceedings of the 1977 Georgia Topology Conference, edited by J. C. Cantrell, Academic Press, New York (1979), pp. 113–146; N. Saviliev, Invariants for Homology 3-Spheres, Encyclopedia of Mathematical Sciences, vol. 140, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg (2002).
- 84.
This result was proved by Michel A. Kervaire in his paper “Smooth homology spheres and their fundamental groups”, Transactions of the American Mathematical Society, 144 (1969), pp. 67–72: if \( M \) is a 3-dimensional manifold such that \( H_{*} \left( M \right) = H_{*} \left( {{\text{S}}^{3} } \right) \) and its fundamental group \( \Gamma \) is finite, then either \( \Gamma = \left\{ 1 \right\} \) or else \( \Gamma = I^{*} . \)
- 85.
“It is clear that in order to arrive at his example of a nonsimply-connected homology sphere […] Poincaré must have done a good deal of experimentation with Heegaard diagrams, of genus 2, and presumably of higher order too”, C. McA. Gordon, “3-dimensional topoogy”, in History of Topology, cit., pp. 449–489 (the quote is at p. 462).
- 86.
“Est-il possible que le groupe fondamental de V se réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe?”, “Cinquième complément à l’‘analysis situs’”, cit., p. 498.
- 87.
See, for example, J. Stillwell, “Poincaré and the early history of 3-manifolds”, Bulletin of the American Mathematical Society, new ser., 49 (2012), pp. 555–576; C. Rourke, “La congettura di Poincaré”, in La matematica. II. Problemi e teoremi, edited by C. Bartocci, Einaudi, Torino (2008), pp. 731–763. It should be pointed out that Perelman solved a more general problem than the Poincaré conjecture, namely Thusrston’s geometrization conjecture.
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Bartocci, C. (2018). Analogy and Invention Some Remarks on Poincaré’s Analysis Situs Papers. In: Tahiri, H. (eds) The Philosophers and Mathematics. Logic, Epistemology, and the Unity of Science, vol 43. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-93733-5_1
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