Abstract
Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux différentes familles d’arbres définies au chapitre 1, essentiellement pour les dénombrer ; souvent nous obtenons aussi les premiers moments (espérance et variance) de la distribution de divers paramètres définis sur ces arbres. Nous étudions d’abord plusieurs types d’arbres planaires : les arbres binaires en section 4.1 et une généralisation aux familles simples d’arbres en section 4.2, puis les tas en section 4.3 et les arbres équilibrés : arbres 2–3 et arbres-B, en section 4.4.
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- 1.
Cette dénomination est due, non à une origine au sud des Pyrénées, mais à la mémoire de C.E. Catalan , qui démontra vers le milieu du 19-ième siècle la formule donnant leur fonction génératrice ; cf. le livre de Flajolet et Sedgewick [94, p. 20], où l’on trouvera également des indications sur la << préhistoire >> de ces nombres.
- 2.
Toute personne avisée aura remarqué que, de nouveau, elle peut obtenir directement l’équation sur la fonction génératrice L(z) à partir de la relation (4.7) reliant la longueur de cheminement d’un arbre à celles de ses sous-arbres.
- 3.
Il n’est en général pas nécessaire d’avoir autant de précision. Notons néanmoins qu’il est possible d’avoir un développement asymptotique complet, c’est-à-dire en allant à un ordre arbitrairement grand.
- 4.
Le signe | est utilisé ici de la manière traditionnelle en théorie des langages, pour noter le choix entre plusieurs options.
- 5.
Il s’agit effectivement du dernier nœud pour l’ordre hiérarchique défini en section A.1.3.
- 6.
(n)2 désigne la représentation binaire de l’entier n.
- 7.
Ici << rang >> signifie rang dans la numérotation en ordre hiérarchique , en commençant à 1, et en binaire.
- 8.
Pour des arbres de recherche, il y a une seule manière d’attribuer les rangs des clés aux nœuds dès que le nombre de clés dans chaque nœud est connu.
- 9.
Aho et Sloane définissent une suite doublement exponentielle comme une suite (x n) telle que \(x_{n+1} = x_n^2 + g_n\) avec |g n| < x n∕4, et montrent alors que \(x_n^{1/2^n}\) a une limite finie.
- 10.
Nous faisons le calcul ici pour la version prudente.
- 11.
Ici, nous travaillons, comme le plus souvent, sur la fonction génératrice du nombre total de nœuds de l’arbre.
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Chauvin, B., Clément, J., Gardy, D. (2018). Approche combinatoire. In: Arbres pour l’Algorithmique. Mathématiques et Applications, vol 83. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-93725-0_4
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Publisher Name: Springer, Cham
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