Abstract
Il y a plusieurs manières de voir les arbres ; la distinction la plus fondamentale est peut-être celle qui consiste à les considérer soit comme des structures discrètes toujours finies – c’est le point de vue de l’algorithmique, qui ne peut (sauf artifice) représenter que des objets finis –, soit comme des objets potentiellement infinis – c’est le point de vue des mathématiques. Dans ce chapitre, et dans la suite de ce livre, nous rencontrerons les deux points de vue simultanément. En anticipant sur la suite du chapitre, nous pouvons dire que
-
l’aspect << structure toujours finie >> correspond à la définition d’un arbre par une classe combinatoire ; on peut alors définir une notion de << taille >> d’un arbre ;
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l’aspect << structure potentiellement infinie >> correspond à la définition d’un arbre par un ensemble de mots ; nous parlerons de taille finie ou infinie d’un arbre.
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- 1.
Nous avons ici sacrifié à l’usage en combinatoire des mots en notant par ε la suite vide et donc la racine des arbres, mais dans d’autres contextes, probabilistes notamment, elle est généralement désignée par ∅.
- 2.
Dans toutes les définitions de classes combinatoires, nous notons les classes atomiques \(\Box \) et • au lieu de \(\{ \Box \}\) et {•}, ceci afin d’alléger les notations.
- 3.
Nous avons choisi l’alphabet à deux lettres {0, 1}, qui est usuel, mais pour retrouver des arbres au sens de la définition 1.1, il faudrait utiliser l’alphabet {1, 2}.
- 4.
Il existe en fait deux types de nœuds simples distincts dans les arbres binaires : ceux qui n’ont que le fils gauche, et ceux qui n’ont que le fils droit ; il est parfois utile de les distinguer.
- 5.
Le nom vient d’Eugène Catalan , à qui est associée l’énumération des arbres binaires par les nombres dits (justement !) << de Catalan >>.
- 6.
Ne pas confondre avec ce que les probabilistes ou les algébristes appellent << l’arbre binaire complet >>, qui est l’arbre infini dans lequel tout nœud a toujours deux fils.
- 7.
\(\mathcal {S}\) est le graphe de la relation g.
- 8.
Le nom vient de l’analogie avec la formule d’équerre utilisée dans l’énumération des tableaux de Young.
- 9.
Certains auteurs définissent un tas comme un arbre décroissant, i.e., chaque nœud a une marque supérieures à celles de ses enfants, et la plus grande marque est à la racine de l’arbre. Ceci est bien évidemment équivalent à notre définition : les analyses sont inchangées, et il suffit de renverser les inégalités pour obtenir les algorithmes adéquats.
- 10.
Les parcours d’arbres, et notamment le parcours symétrique, sont définis en section A.1.2.
- 11.
L’algorithme de construction présenté ici est connu sous le nom d’<< insertion aux feuilles >> ; il existe d’autres algorithmes d’insertion, notamment l’insertion à la racine présentée en section A.2.4.
- 12.
Il existe d’autres types d’arbres de recherche utilisés en informatique, par exemple les arbres k-d ; nous définissons ici uniquement les classes d’arbres que nous étudions dans ce livre.
References
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Chauvin, B., Clément, J., Gardy, D. (2018). Botanique. In: Arbres pour l’Algorithmique. Mathématiques et Applications, vol 83. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-93725-0_1
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