On Birch and Swinnerton-Dyer’s Cubic Surfaces

Abstract

In a 1975 paper of Birch and Swinnerton-Dyer, a number of explicit norm form cubic surfaces are shown to fail the Hasse principle. They make a correspondence between this failure and the Brauer–Manin obstruction, recently discovered by Manin. We extend their work to show that a larger set of cubic surfaces has a Brauer–Manin obstruction to the Hasse principle, thus verifying the Colliot-Thélène–Sansuc conjecture for infinitely many cubic surfaces.

Appendix

Magma Code for Defining Equation Computation

> R<phi_0,phi_1,phi_2,psi_0,psi_1,psi_2,theta, thetabar,d> := PolynomialRing(Rationals(),9); > Q := FieldOfFractions(R); > A4<A,B,C,D> := AffineSpace(Q,4); > polys := [1+A∗phi_0+C∗psi_0, > theta∗(1+phi_1∗A+psi_1∗C)-(B∗phi_1+D∗psi_1), > thetabar∗(1+phi_2∗A+psi_2∗C)-(B∗phi_2+D∗psi_2), > (B∗phi_0+D∗psi_0)∗(B∗phi_1+D∗psi_1)∗ (B∗phi_2+D∗psi_2)-d∗theta∗thetabar]; > > S := Scheme(A4,polys); > f := ClearDenominators(GroebnerBasis(S))[4]; > cos := Coefficients(f); > > Factorization(R!cos[1]); [     <theta - thetabar, 1>,     <phi_1∗psi_2 - phi_2∗psi_1, 2>,     <phi_0∗psi_2 - phi_2∗psi_0, 2>,     <phi_0∗psi_1 - phi_1∗psi_0, 2> ] > Factorization(R!cos[2]); [     <phi_1∗psi_2 - phi_2∗psi_1, 1>,     <phi_0∗psi_2 - phi_2∗psi_0, 1>,     <phi_0∗psi_1 - phi_1∗psi_0, 1>,     <phi_0∗psi_1 - phi_0∗psi_2 - phi_1∗psi_0 +     phi_1∗psi_2 + phi_2∗psi_0 - phi_2∗psi_1, 1>,     <phi_0∗phi_1∗psi_2∗theta∗thetabar -     1/2∗phi_0∗phi_1∗psi_2∗thetabar̂2 +     1/2∗phi_0∗phi_2∗psi_1∗thetâ2 -     phi_0∗phi_2∗psi_1∗theta∗thetabar -     1/2∗phi_1∗phi_2∗psi_0∗thetâ2 +     1/2∗phi_1∗phi_2∗psi_0∗thetabar̂2, 1> ] > Factorization(R!cos[3]); [     <thetabar, 1>,     <theta, 1>,     <phi_0∗psi_1 - phi_0∗psi_2 - phi_1∗psi_0 +     phi_1∗psi_2 + phi_2∗psi_0 - phi_2∗psi_1, 2>,     <phi_0̂2∗phi_1̂2∗psi_2̂2∗thetabar +     2∗phi_0̂2∗phi_1∗phi_2∗psi_1∗psi_2∗theta -     2∗phi_0̂2∗phi_1∗phi_2∗psi_1∗psi_2∗thetabar -     phi_0̂2∗phi_2̂2∗psi_1̂2∗theta -     2∗phi_0∗phi_1̂2∗phi_2∗psi_0∗psi_2∗theta +     2∗phi_0∗phi_1∗phi_2̂2∗psi_0∗psi_1∗thetabar +     phi_1̂2∗phi_2̂2∗psi_0̂2∗theta -     phi_1̂2∗phi_2̂2∗psi_0̂2∗thetabar, 1> ] > Factorization(&+ [t : t in Terms(R!cos[4]) | not IsDivisibleBy(t,d)]); [     <thetabar, 2>,     <theta, 2>,     <phi_2, 1>,     <phi_1, 1>,     <phi_0, 1>,     <phi_0∗psi_1 - phi_0∗psi_2 - phi_1∗psi_0 +     phi_1∗psi_2 + phi_2∗psi_0 - phi_2∗psi_1, 3> ] > Factorization(&+ [t : t in Terms(R!cos[4]) | IsDivisibleBy(t,d)]); [     <d, 1>,     <phi_0∗phi_1∗psi_2∗thetabar -     phi_0∗phi_2∗psi_1∗theta +     phi_1∗phi_2∗psi_0∗theta -     phi_1∗phi_2∗psi_0∗thetabar, 3> ]