Zustandsraummodelle

Zusammenfassung

Lineare Zustandsraumsysteme sind wie ARMA-Systeme Modelle für stationäre Prozesse, genauer gesagt für die Klasse stationärer Prozesse mit rationaler spektraler Dichte. ARMA-Modelle und Zustandsraummodelle (mit weißem Rauschen als Input) stellen die gleichen stationären Prozesse dar. Zustandsraummodelle enthalten eine i. Allg. unbeobachtete Variable, den Zustand, der die für die Zukunft relevante Information aus der Vergangenheit des Prozesses enthält. Sie werden vor allem in der Kontrolltheorie ungleich häufiger als die äquivalenten ARMA-Systeme angewendet.

Zwei zentrale Ergebnisse in diesem Kapitel sind die Äquivalenz von Kontrollierbarkeit und Beobachtbarkeit mit Minimalität und die Beschreibung der Äquivalenzklassen beobachtungsäquivalenter minimaler Systeme. Sodann geben wir eine Konstruktion zur Ermittlung eines Zustandsraumsystems aus der Wold-Zerlegung an.

Im Abschn.~7.4 behandeln wir das Kalman-Filter. Dies ist ein Algorithmus zur Schätzung des nicht beobachteten Zustands aus den Beobachtungen und zur Prognose dieser Beobachtungen (bei bekannten Systemparametern). Das Kalman-Filter ist für die Prognose oder die Maximum-Likelihood-Schätzung von großer Wichtigkeit.