Autoregressive Prozesse

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir sogenannte autoregressive Prozesse, d. h. stationäre Lösungen von Differenzengleichungen der Form

$$\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots+a_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t},\,\,\forall t\in\mathbb{Z}$$

wobei ε _t weißes Rauschen ist. Für die praktischen Anwendungen der Zeitreihenanalyse bilden AR-Modelle die wohl gebräuchlichste Modellklasse. Mit AR-Modellen kann man insbesondere Prozesse mit dominierenden „fast periodischen“ Komponenten, wie sie in vielen Anwendungen zu finden sind, gut beschreiben.

Ein weiterer wichtiger Vorteil von autoregressiven Prozessen ist deren einfache Prognose. Unter der Stabilitätsbedingung ist die Ein-Schritt-Prognose aus der unendlichen Vergangenheit einfach $\hat{x}_{t,1}=a_{1}x_{t}+\cdots+a_{p}x_{t+1-p}$. Das AR-Modell kann auch sehr einfach z. B. mit Hilfe der sogenannten Yule-Walker Gleichungen geschätzt werden.

Im ersten Abschnitt diskutieren wir kurz die stationäre Lösung des AR-Systems unter der Stabilitätsbedingung. Wir behandeln dann die Prognose von AR-Prozessen aus der endlichen bzw. unendlichen Vergangenheit und diskutieren die wesentlichen Charakteristika der spektralen Dichte von AR-Prozessen. Der vorletzte Abschnitt ist den Yule-Walker-Gleichungen gewidmet, die den Zusammenhang zwischen den Parametern des AR-Systems und der Kovarianzfunktion herstellen.

Im letzten Abschnitt betrachten wir auch spezielle nicht-stationäre Lösungen, nämlich sogenannte integrierte und kointegrierte Prozesse, die im Fall einer sogenannten Einheitswurzel (unit root) auftreten. Eines der wichtigsten Resultate ist der Darstellungssatz von Granger.