Lineare zeitinvariante dynamische Filter und Differenzengleichungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir zunächst lineare, zeitinvariante, im Allgemeinen dynamische Transformationen stationärer Prozesse. Solche Transformationen werden auch Filter oder Systeme genannt, der ursprüngliche Prozess ist dabei der Input und der transformierte Prozess der Output.

Dynamische Filter dienen oft als (mathematisches) Modell für reale Systeme (z. B. technische oder ökonomische Systeme). In der Zeitreihenanalyse werden sie verwendet, um bestimmte Komponenten wie etwa Störungen oder Saisonschwankungen aus Zeitreihen zu extrahieren. MA(∞) Prozesse erhält man durch die lineare, dynamische Transformation von weißem Rauschen; das Filter beinhaltet hier daher die wesentlichen Informationen über den transformierten Prozess.

Wir betrachten zunächst allgemeine lineare Transformationen stationärer Prozesse und dann sogenannte l ₁-Filter, beides im Zeit- und Frequenzbereich. Ein Abschnitt ist der Interpretation solcher Filter im Frequenzbereich gewidmet. Im vorletzten Abschnitt dieses Kapitels wird das Wiener-Filter behandelt und der letzte Abschnitt beschäftigt sich mit der Lösung von linearen Differenzengleichungen. Diese Lösungen erhält man durch sogenannte rationale Filter, die im weiteren im Zentrum unsere Behandlung stehen werden.