Models as Research Tools: Plücker, Klein, and Kummer Surfaces

Abstract

In the late summer of 1869, 20-year-old Felix Klein made his way to Berlin, where he planned to attend the renowned seminar founded by Ernst Eduard Kummer and Karl Weierstrass. Klein had already taken his doctorate in Bonn and he would soon be recognized as a leading expert on line geometry, a new approach to 3-space launched by his mentor in Bonn, Julius Plücker. Just before Plücker died in 1868, he entrusted Klein to complete the classic monograph, Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement. Overall responsibility for this project fell to Alfred Clebsch in Göttingen, which was how Klein first came to the prestigious Georgia Augusta. There he was quickly drawn into the orbital field surrounding this stellar figure, the co-founder of a new journal, Die Mathematische Annalen (Shafarevich 1983). It was during this first brief stay in Göttingen that Klein struck up his lifelong friendship with Max Noether. Their initial encounter also bore immediate mathematical fruit; both found mappings that transformed the 3-parameter system of lines in a linear complex to the points in 3-space, an approach to line geometry that would soon have far-reaching consequences (Klein 1921, 89).

Appendix

The letter from Kummer to Klein is found in Klein’s posthumous papers, Cod. Ms. F. Klein, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen. The three letters from Brill to Weierstrass are located in the Weierstrass Nachlass, Geheimes Staatsarchiv Preußischer Kulturbesitz, Berlin. My thanks go to Eva Kaufholz-Soldat for alerting me to these letters and for her help in preparing the transcriptions.

Auszug aus einem Brief von Ernst Eduard Kummer an Felix Klein:

Berlin d. 4te März 1883

Geehrter Herr Kollege!

Die Modelle zu den Flächen vierten Grades, welche ich früher selbst angefertigt habe, und welche Sie im mathematischen Seminar der Universität gesehen haben, scheinen auch mir recht nützlich um das Gebiet der geometrischen Anschauungen für den Studierenden zu erweitern und manche Besonderheiten klar und bestimmt anschaulich zu machen. Ich kann es danach nur mit Freude und mit Dank anerkennen, wenn Sie sich der Mühe unterziehen wollen dieselben vervielfältigen zu lassen… .

…

Leben Sie recht wohl,

Ihr ergebenen

E. E. Kummer

Drei Briefe von Alexander Brill an Karl Weierstrass:

München, 12. April 1883

Hochverehrter Herr Professor!

Als ich bei meiner jüngsten Anwesenheit in Berlin Herrn Professor Kummer besuchte, wurde ich von ihm zu einer brieflichen Anfrage an Sie veranlasst, um deren freundliche Aufnahme ich ganz ergebenst bitten wollte.

Herr Kummer wurde vor einiger Zeit von Herrn Klein in Leipzig darum angegangen, seine in dem mathematischen Seminar der Universität Berlin befindlichen Modelle ihm zur Entnahme von Abgüssen auf kurze Zeit zu überlassen. Er hatte ihm dies zugesagt, mit dem Beifügen, dass, da er von der Verwaltung des Inventars zu Ostern zurücktreten würde, Klein sich an Sie mit der Bitte um Übersendung der Modelle wenden möchte.

Herr Kummer äusserte, indem er mir von dem Vorstehenden Mitheilung machte, das Bedenken, ob ich wohl in Leipzig ein geschickter Gipsformator fände, dem man die an den Modellen nothwendigen [-2-] vorgängigen Reparaturen überlassen könnte. Ich erlaubte mir den Vorschlag zu machen, diese Arbeit, sowie die Herstellung von Abgüssen, in München von dem Formator des k[öniglichen] b[ayrischen] Nationalmuseums Herrn J.[oseph] Kreittmayr, einem mir als geschickt bekannten Mann, unter meiner Aufsicht vornehmen zu lassen, sowie weiterhin gestatten zu wollen, dass die Modelle in Copien weiteren Kreisen zugänglich gemacht würden. Die Herstellung und Vertreibung der Copien könnte etwa der Buchhandlung von L. Brill in Darmstadt, die einen ausgedehnten Verlag von mathematischen Modellen bereits besitzt, durch meine Vermittlung übertragen werden. Herr Kummer erklärte sich mit diesen Vorschlägen einverstanden und empfahl mir, nach vorgängiger Verständigung mit Herrn Klein, den Sachverhalt Ihnen darzulegen.

Diesem Wunsche nachkommend erlaube ich mir, nachdem mir Herr Klein die weiteren Schritte zu Ihnen überlassen hat, an Sie, hochverehrter Herr Professor, die ergebenste Anfrage zu richten, ob es möglich ist, die fraglichen Modelle, die ich bei meiner Unbekanntschaft mit denselben nicht näher bezeichnen kann, zu verschicken? [sic] und im bejahenden Falle die Bitte beizufügen, dass dieselben an meine Adresse, hiesige technische Hochschule, versandt werden. [-3-] Die sorgsame baldige Rücksendung der Originale sowie je eines Abgusses an das mathematische Seminar der Universität Berlin wäre meine Sorge, die Kosten der Verpackung und Versendung, sowie alle besonderen Ausgaben würden der Buchhandlung zur Last fallen.

Ist die Veröffentlichung der Modelle, etwa so wie ich sie vorstehend darzulegen mir erlaubte, möglich, so zweifle ich nicht, dass Erzeugnisse aus der Hand Kummer’s, die in die Zeit zurückreichen, wo das Interesse an gestaltlichen Untersuchungen noch eine äusserst geringes war, der allgemeinsten Theilnahme sicher sind, und ich würde es mir zur hohen Ehre anrechnen, bei der Publication dieser Modelle mitthätig gewesen zu sein.

Ihre Gesundheit, hochgeehrter Herr Professor, ist hoffentlich wieder im Stand, und das Unwohlsein, das Sie nicht hinderte, eine so inhaltsreiche Unterredung mir freundlichst zu gewähren, wieder beseitigt.

Gestatten Sie mir zum Schluss meinen vorläufigen Dank für die Bemühung auszusprechen, die aus dieser Angelegenheit Ihnen erwächst, sowie die Versicherung ausgezeichneter Hochachtung, mit welcher zeichnet,

Ihr ergebenster

Alexander Brill

München, 19. Mai 1883

Hochverehrter Herr Professor!

Ihre hochgeschätzten Zeilen sowie die Kiste mit Modellen habe ich erhalten und beeile mich, meinen verbindlichen Dank für die Güte und Bereitwilligkeit zu sagen, mit der Sie meinem Wunsche entsprochen haben. Die Modelle sind im besten Zustande angekommen, bis auf eines der im inneren Kästchen befindlichen, das eine unbedenkliche leicht reparierbare Beschädigung erhalten hat, wenn es dieselbe nicht schon früher besass.

Die Modelle haben, was den Inhalt und was die Eleganz der Ausführung angeht, alle meine Erwartungen übertroffen, und ich werde zufrieden sein, wenn [-2-] die Feinheit und Genauigkeit der Originale an den Copien überhaupt noch zur Erscheinung kommt.

Die Ausführungen in den Berliner Monatsberichten, auf die Sie mich hinzuweisen die Güte hatten, würden im Abdruck sich vortrefflich als Beilage zu der Serie eignen, und ich werde seitens der Buchhandlung die Erlaubniss zum Abdruck von Herrn Professor Kummer zu erwirken suchen.

Die Modelle sind inzwischen bereits in den Händen des Formators, doch wird die Herstellung genauer Copien einige Zeit in Anspruch nehmen.

Bis dahin bleibe ich mit dem wiederholten Ausdruck lebhaften Dankes und der Versicherung ausgezeichneter Hochachtung

Ihr

ergebenster

A. Brill

München, 15. Juli 1883

Hochverehrter Herr Professor!

Nachdem die Schwierigkeiten, die sich dem Abgusse der Kummer’schen Modelle entgegen gestellt hatten, überwunden sind, wird die Rücksendung der mir gütigst überlassenen Originale an Ihre Adresse in diesen Tagen erfolgen. Der Formator hat diesselben bestmöglich reparirt [sic] und fügt der Sendung eine Copie der Serie bei, die von der Buchhandlung dem mathematischen Seminar Ihrer Universität zur Verfügung gestellt wird.

Mit dieser Anzeige verbinde ich den wiederholten Ausdruck verbindlichen Dankes für die Güte, mit der Sie, hochverehrter Herr Professor, die Mühwaltung der Versendung übernahmen, sowohl im Namen des mathematischen Instituts der hiesigen technischen Hochschule, das um eine werthvolle Serie bereichert wurde, wie im Namen der Buchhandlung, welche die Copien weiteren Kreisen zugänglich machen wird.

Was den Abgüssen, etwa an Eleganz der äußeren Erscheinung abgeht, das ersetzen sie, wie ich glaube, durch Solidität [-2-] der Construction, indem in jedes Gipsmodell als Gerüste das Drahtgestell der vier Doppelberührkreise eingesetzt ist.

Mit dem Wunsche, dass die Sendung in gutem Zustande ankommen möge zeichnet mit vielen Empfehlungen und dem Ausdruck ausgezeichneter Hochachtung

ergebenst

A. Brill