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Riemann Surfaces: Reception by the French School

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From Riemann to Differential Geometry and Relativity

Abstract

Riemann introduced in his doctoral dissertation (1851) the concept of Riemann surface as a new ground space for meromorphic functions and in particular as a domain for a multi-valued function defined by an algebraic equation such that this function becomes single-valued when its is defined on its associated Riemann surface. It took several years to the mathematical community to understand the concept of Riemann surface and the related major results that Riemann proved, like the so-called Riemann existence theorem stating that on any Riemann surface—considered as a complex one-dimensional manifold—there exists a non-constant meromorphic function. In this chapter, we discuss how the concept of Riemann surface was apprehended by the French school of analysis and the way it was presented in the major French treatises on the theory of functions of a complex variable, in the few decades that followed Riemann’s work. Several generations of outstanding French mathematicians were trained using these treatises. At the same time, this will allow us to talk about the remarkable French school that started with Cauchy and expanded in the second half of the nineteenth century. We also comment on the relations between the French and the German mathematicians during that period.

La vérité réside dans l’imaginaire

Eugene Ionesco

(Lectures at Brown University, Sept. 1984)

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Notes

  1. 1.

    In the present chapter, the translations from the French are mine.

  2. 2.

    L’œuvre de Bernhard Riemann est la plus belle et la plus grande de l’Analyse à notre époque: elle a été consacrée par une admiration unanime, elle laissera dans la Science une trace impérissable. [...] Jamais, dans aucune publication mathématique, le don de l’invention n’était apparu avec plus de puissance, jamais on n’avait demandé autant de belles conquêtes dans les plus difficiles questions de l’analyse.

  3. 3.

    The plural will be explained later, when we shall talk about Picard’s work.

  4. 4.

    I thank K. Ohshika for this reference.

  5. 5.

    “Geometry of situation” was one of the various names given to topology, before the word “topology” became universally accepted.

  6. 6.

    J’avais déjà connaissance du beau travail de M. Abel inséré dans le Journal de Crelle. Mais vous m’avez fait beaucoup de plaisir de m’en donner une analyse dans votre langage qui est plus rapproché du mien. C’est une grande satisfaction pour moi de voir deux jeunes géomètres, comme vous et lui, cultiver avec succès une branche d’analyse qui a fait si longtemps l’objet de mes études favorites et qui n’a point été accueillie dans mon propre pays comme elle le méritait.

  7. 7.

    The lycées where Briot (and several other mathematicians we encounter in the present chapter) taught are high-schools whose curricula included an additional year of study after the high-school diploma (baccalauréat). During that year, called Mathématiques spéciales, the élèves (pupils) are prepared for the entrance examinations (concours d’entrée) to some highly competitive schools which, in the period we are interested in, were essentially the École Polytechnique and the École Normale Supérieure. In principle, only gifted and hard-working élèves were admitted in such classes.

    Only a small percentage of the élèves were accepted into these schools (2–5%) at the first trial. The others usually returned to the lycée and spent another year in the class of Mathématiques spéciales where they deepened their knowledge and their training. The chances of entering one of the two schools after this second year were about 25%. Some of the élèves, after a second failure, repeated a third time the class of Mathématiques spéciales, and the chances of success, for those who tried the concours d’entrée after a third year, were about 50%. (These figures are extracted from the article [85] by Pierpont in which the author compares the French and the American mathematical education systems by the end of the nineteenth century.)

    These classes still exist today in France, they are called Classes préparatoires aux Grandes Écoles, and include two years, Mathématiques supérieures and mathématiques spéciales. They prepare to the entrance examinations of a large number of schools.

  8. 8.

    The list includes Briot, Bouquet, Darboux, Bertrand, Hoüel, Valiron, Châtelet, Tannery, Boutroux, Lacour, Lucas, Lichnerowicz, and there are others. The following story is related by Picard, in his Eulogy of Jules Tannery [84]: “Bouquet used to relate that after he graduated from the École [Normale Supérieure], and while he was in charge of the class of “mathématiques spéciales” at Marseille’s lycée, he received the visit of the father of one of his élèves, who wanted that his son be prevented from working in mathematics, because they lead to noting good. He asked for a professor who would give a course which is enough bad so that his son does not enter the École Polytechnique, after which one gains less money than in business. [Bouquet aimait à raconter que, chargé à sa sortie de l’École, du cours de mathématiques spéciales au Lycée de Marseille, il avait eu la visite du père d’un de ses élèves, qui voulait qu’on empêchât son fils de travailler les mathématiques qui ne mènent à rien de bon. Il demandait que le professeur fit un assez mauvais cours pour que son fils n’entrât pas à l’École Polytechnique au sortir de laquelle on gagne moins d’argent que dans le commerce.]

  9. 9.

    Ce premier mémoire contient les principes de la théorie des fonctions d’une variable imaginaire. Nous adoptons la définition donnée par M. Cauchy, et nous l’expliquons par des exemples. Nous étudions ensuite les propriétés des fonctions définies par des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Ceci nous permet d’établir, d’une manière nette et précise, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction se développe en série convergente suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Nous faisons disparaître ainsi les nuages qui obscurcissent encore le beau théorème de M. Cauchy.

  10. 10.

    Malgré les remarquables travaux de ces deux grands géomètres, la théorie des fonctions elliptiques restait fort obscure et très-compliquée; ni la double périodicité n’avait été reconnue d’une manière nette, ni la fonction elle-même définie d’une manière rigoureuse. Il fallait, pour éclairer cette théorie, l’introduction d’une idée nouvelle en mathématiques, et c’est à l’illustre Cauchy que l’on doit cet important progrès.

  11. 11.

    Dans la théorie de Cauchy, la marche de la variable imaginaire est figurée par le mouvement d’un point sur un plan. Pour représenter les fonctions qui acquièrent plusieurs valeurs pour une même valeur de la variable, Riemann regardait le plan comme formé de plusieurs feuillets superposés et réunis par des soudures, de manière que la variable puisse passer d’un feuillet à un autre en traversant une ligne de raccordement. La conception des surfaces à feuillets multiples présente quelques difficultés; malgré les beaux résultats auxquels Riemann est arrivé par cette méthode, elle ne nous a paru présenter aucun avantage pour l’objet que nous avions en vue. L’idée de Cauchy se prête très bien à la représentation des fonctions multiples; il suffit de joindre à la valeur de la variable la valeur correspondante de la fonction, et, quand la variable a décrit une courbe fermée et que la valeur de la fonction a changé, d’indiquer ce changement par un indice.

  12. 12.

    The notes were taken by C. W. Borchardt, the editor of the Journal für die reine und angewandte Mathematik. In a footnote to the article, Borchardt writes about these notes: “When, in the first half of the year 1847 I stayed in Paris at the same time of my late friend Ferdinand Joachimstahl, Mr. Liouville accepted to give, at his home, for the two of us, a few lessons on his method for treating the theory of doubly periodic functions. I collected Mr. Liouville’s lessons, and when, back in Berlin, I have completed writing them up, I sent him a copy of my manuscript which he authorized me to communicated to Jacobi and Lejeune-Dirichlet. [...] In communicating to the geometers a work done more than thirty years ago and without the intention of publishing it, I think nevertheless that I can assure that in general my redaction reproduces faithfully the lessons of Mr. Liouville. [Lorsque dans la première moitié de l’année 1847 j’ai fait un séjour à Paris en même temps que mon ami bien regretté Ferdinand Joachimstahl, M. Liouville a bien voulu nous faire chez lui à nous deux quelques leçons sur sa méthode de traiter la théorie des fonctions doublement périodiques. [...] En communiquant aux géomètres un travail fait il y a plus de trente ans et sans l’intention de le faire imprimer, je crois néanmoins pouvoir assurer qu’en général ma rédaction reproduit fidèlement les leçons de M. Liouville.

  13. 13.

    The work of Clebsch and Gordan which was a major reference at that time is their treatise Theorie der Abelschen Funktionen (Theory of Abelian functions), 1866 [24]. One of the major results of Clebsch is a classification of algebraic curves using Riemann’s theory of Abelian functions and based on his notion of birational transformation. Clebsch’s ideas were further developed by Brill and Noether.

  14. 14.

    The book by Neumann which is referred to in this quote is certainly his treatise Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale (Lectures on Riemann’s theory of Abelian integrals), published in 1865, [69]. Unlike the French treatises, Neumann’s book was written in the spirit of Riemann.

  15. 15.

    N’est-il pas étonnant vraiment comme, à l’heure qu’il est, la théorie des fonctions abéliennes avec toutes les particularités de la méthode qui lui sont propres et qui en font justement une des plus belles branches de l’Analyse, est encore peu étudiée et peu comprise partout ailleurs qu’en Allemagne ? J’ai été vraiment indignée en lisant, par exemple, le Traité des fonctions abéliennes par Briot, qui jusqu’à présent ne m’était pas tombé sous les yeux. Peut-on exposer une aussi belle matière d’une manière aussi aride et aussi peu profitable pour l’étudiant ? Je ne m’étonne presque plus que nos mathématiciens russes, qui ne connaissent toute cette théorie que par le livre de Neumann et celui de Briot, professent une indifférence aussi profonde pour l’étude de ces fonctions.

  16. 16.

    In a chronicle on Appell which appeared in Le petit parisien (18/02/1929) it is reported that when he came back to Strasbourg, after the Second World War, he whispered: “I thought I was becoming crazy when I saw the French flag fleeting on our old cathedral. On that day, my life was filled. I could well have died.” [Je croyais devenir fou en voyant le drapeau tricolore flotter sur notre chère cathédrale, murmure-t-il. Ce jour-là, ma vie était comblée. J’aurais pu mourir.]

  17. 17.

    In a biography of Hermite, written by his grand-daughter (the manuscript, kept in the Archives of the Académie des Sciences de Paris) quoted in [48] p. 79, we read that Hermite told Appell once, “Can you imagine, my dear Appell, that after our death, we shall at last contemplate, face to face, the number \(\pi \) and the number e?” [Songez-vous, mon cher Appell, qu’après la mort nous contemplerons enfin face à face le nombre \(\pi \) et le nombre e ?].

  18. 18.

    The reader may find details on the work of Puiseux, and its relations to the works of Cauchy, Hermite and others, in Chap. 7 of the present volume [77].

  19. 19.

    Aux travaux de Puiseux succèdent, en 1857, ceux de Riemann accueillis par une admiration unanime, comme l’événement le plus considérable dans l’analyse de notre temps. C’est à l’exposition de l’œuvre du grand géomètre, des recherches et des découvertes auxquelles elle a donné lieu qu’est consacré cet ouvrage.

    Une conception singulièrement originale leur sert de fondement, celle des surfaces auxquelles est attaché le nom de l’inventeur, formées de plans superposés, en nombre égal au degré d’une équation algébrique, et reliés par des lignes de passage, qu’on obtient en joignant d’une certaine manière les points critiques. L’établissement de ces lignes est une première question de grande importance, rendue depuis beaucoup plus simple et plus facile par un beau théorème de M. Lüroth. S’offre ensuite la notion des surfaces connexes, de leurs ordres de connexion, les théorèmes sur l’abaissement par des coupures qui ramènent la surface à être simplement connexe. De ces considérations profondes et délicates résulte une représentation géométrique, qui est un instrument de la plus grande puissance pour l’étude des fonctions algébriques. Il serait trop long de rappeler toutes les découvertes portant l’empreinte du plus grand génie mathématique, auxquelles elle conduit Riemann [...].

  20. 20.

    Ce second volume contient les leçons que j’ai faites à la Sorbonne ces deux dernières années. Il est principalement consacré aux fonctions harmoniques et aux fonctions analytiques. Sans négliger le point de vue de Cauchy dans la théorie de ces dernières fonctions, je me suis surtout attaché à une étude approfondie des fonctions harmoniques, c’est-à-dire de l’équation de Laplace; une grande partie de ce volume est consacrée à cette équation célèbre, dont dépend toute la théorie des fonctions analytiques. Je me suis arrêté longuement sur le principe de Dirichlet, qui joue un si grand rôle dans les travaux de Riemann, et qui est aussi important pour la physique mathématique que pour l’analyse.

    Parmi les fonctions particulières que j’étudie, je signalerai les fonctions algébriques et les intégrales abéliennes. Un chapitre traite des surfaces de Riemann, dont l’étude a été laissée un peu trop de côté en France; on peut, par une représentation géométrique convenable, rendre intuitifs les principaux résultats de cette théorie. Cette vue claire de la surface de Riemann une fois obtenue, toutes les applications se déroulent avec la même facilité que dans la théorie classique de Cauchy relative au plan simple. Mais il importe de juger à sa véritable valeur la belle conception de Riemann. Ce serait une vue incomplète que de la regarder seulement comme une méthode simplificative pour présenter la théorie des fonctions algébriques. Si importante que soit la simplification apportée dans cette étude par la considération de la surface à plusieurs feuillets, ce n’est pas là ce qui fait le grand intérêt des idées de Riemann. Le point essentiel de sa théorie est dans la conception a priori de la surface connexe formée d’un nombre limité de feuillets plans, et dans le fait qu’à une telle surface conçue dans toute sa généralité correspond une classe de courbes algébriques. Nous n’avons donc pas voulu mutiler la pensée profonde de Riemann, et nous avons consacré un chapitre à la question difficile et capitale de l’existence des fonctions analytiques sur une surface de Riemann arbitrairement donnée; le problème même est susceptible de se généraliser, si l’on prend une surface fermée arbitraire dans l’espace et que l’on considère l’équation de Beltrami qui lui correspond.

  21. 21.

    Picard indeed uses the plural for Riemann’s existence theorems.

  22. 22.

    Malheureusement, la méthode si simple de Riemann pour établir les théorèmes généraux d’existence ne présente pas la rigueur qu’on exige aujourd’hui dans la théorie des fonctions. Elle repose sur la considération du minimum de certaines intégrales tout à fait analogues à celles que nous avons déjà étudiées dans le problème de Dirichlet et on lui a adressé les mêmes objections. Il a donc fallu chercher dans une autre voie. M. Neumann et M. Schwarz y sont parvenus, chacun de son côté.

  23. 23.

    Ce théorème a été énoncé par M. Klein dans son ouvrage déjà bien des fois cité sur la Théorie des surfaces de Riemann. Le mode de démonstration de M. Klein est extrêmement intéressant, quoi qu’il ne prétende pas à être rigoureux au point de vue analytique. C’est à une expérience électrique fictive faite sur la surface que l’illustre auteur emprunte les éléments de ses démonstrations. L’existence des fonctions potentielles avec leurs singularités diverses se trouve ainsi démontrée en quelque sorte expérimentalement.

  24. 24.

    Nous n’avons certes pas la prétention d’approfondir toutes les questions qui se posent dans cette théorie difficile; notre seul but est de donner une idée de l’état actuel de la science sur un sujet dont l’étude mérite de tenter l’effort de nombreux chercheurs.

  25. 25.

    Annali di Mathematica, t. IV (1870–71).

  26. 26.

    Journal de Mathématiques (1899).

  27. 27.

    Cette théorie a été fondée par Riemann, qui lui a donné ce nom; dans ses études sur les fonctions abéliennes, le grand géomètre ne considère que les espaces à deux dimensions, mais il a ensuite généralisé ses recherches pour un nombre quelconque de dimensions, comme le montrent les notes publiées après sa mort dans le volume renfermant ses œuvres complètes. Indépendamment de Riemann, Betti avait de son côté étudié les divers ordres de connexion dans les espaces à n dimensions, et publié un mémoire fondamental sur ce sujet. Dans son mémoire sur les fonctions algébriques, M. Picard avait montré l’intérêt que présentent des considérations de ce genre dans l’étude des surfaces algébriques. Tout récemment, M. Poincaré a repris d’une manière générale cette question dans l’Analysis situs, et, après avoir complété et précisé les résultats obtenus par Betti, a appelé l’attention sur les différences considérables que présentent ces théories, suivant qu’il s’agit d’un espace à deux dimensions ou d’un espace à un plus grand nombre de dimensions.

  28. 28.

    Dans ce qui suit, nous considérons des surfaces comme des feuillets sans épaisseur, de sorte qu’un point ou une ligne tracée sur la surface seront visibles pour un observateur placé d’un côté ou de l’autre. Les surfaces seront en outre regardées comme parfaitement élastiques et indéchirables.

  29. 29.

    We remind the reader that the École Polytechnique is a military school.

  30. 30.

    A kind of a teaching assistant.

  31. 31.

    Riemann, dans sa théorie des fonctions abéliennes, avait introduit la notion capitale du genre des courbes algébriques, et partagé celles-ci en différentes classes, deux courbes étant de la même classe quand elles se correspondent uniformément. L’illustre géomètre, qui aimait les grands horizons, avait peu insisté sur plus d’un point difficile, en particulier sur ce qui concerne les singularités élevées. Halphen donne une formule générale, applicable à tous les cas, pour la détermination du genre d’une courbe algébrique; puis, passant à l’étude des courbes d’une même classe, il approfondit une proposition remarquable donnée par M. Noether, d’après laquelle on peut trouver dans toute classe des courbes n’ayant que des singularités ordinaires [...].

  32. 32.

    Depuis longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponentielles et circulaires ont été les seules fonctions transcendantes qui ont attiré l’attention des géomètres. Ce n’est que dans les derniers temps qu’on a commencé à en considérer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer les fonctions, nommées elliptiques, tant pour leurs belles propriétés analytiques que pour leur application dans les diverses branches des mathématiques.

  33. 33.

    Thomas Johannes Stieltjes (1856–1894) was Dutch but he decided to live in France. He acquired the French citizenship and in 1886 he became professor at the Faculté des Sciences de Toulouse. Stieltjes is known for several works on analysis and number theory, in particular on the so-called Stieltjes integral, elliptic functions, Dirichlet series, and is considered as the founder of the analytic theory of continued fractions. Stieltjes is also remembered for a failed attempt to prove the Riemann hypothesis, which he announced in his paper [104].

  34. 34.

    L’étude des fonctions d’une variable imaginaire définies par une équation, étude qui s’est substituée à la recherche, souvent impraticable, de la forme explicite de ces fonctions, a, dans notre siècle, profondément renouvelé l’analyse. C’est, comme on le sait, à Cauchy que revient la gloire d’avoir frayé cette voie nouvelle. Les travaux de M. Puiseux sur la recherche des racines des équations algébriques, ceux de MM. Briot et Bouquet sur les fonctions doublement périodiques et sur les équations différentielles ont, en France, amplement prouvé la fécondité de l’idée de Cauchy. En Allemagne, les belles découvertes de Riemann ont accéléré un mouvement scientifique qui, depuis lors, ne s’est pas ralenti.

    Ceux qui aiment la science et qui ont trop de raisons pour se défier de leurs facultés d’invention, ont encore un rôle utile à jouer, celui d’élucider les recherches des autres et de les répandre: c’est ce que j’ai essayé de faire dans ce travail.

  35. 35.

    Ce qui frappa surtout Tannery dans l’enseignement d’Hermite, c’est qu’il donnait aux abstractions mathématiques la couleur et la vie; il montrait les fonctions se transformant les unes dans les autres, comme l’eût fait un naturaliste retraçant l’évolution des êtres vivants.

  36. 36.

    Notre Encyclopédie ne sera pas une traduction de l’édition allemande; ce sera une nouvelle édition de cette encyclopédie. Nous serons libres d’intercaler de nouveaux articles, d’exposer, d’après nos habitudes françaises, les articles allemands, d’y ajouter des notes, des compléments. Chaque article sera publié avec la mention: exposé par (l’auteur français) d’après (l’auteur allemand), et les notes [ou compléments] ajoutées par l’auteur français seront, en outre, mentionnées d’une façon spéciale, afin de réserver nos droits, dans le cas où à l’édition française succéderait, ce qui est fort probable, une édition anglo-américaine, une nouvelle édition allemande, ou d’autres éditions encore. [...] Les Allemands ont des qualités d’érudition minutieuses très remarquables; nous profiterons de celles qu’ils ont mises en évidence dans leur édition allemande. Leurs qualités d’exposition sont peut-être moins remarquables; nous essayerons de faire mieux à cet égard. Nous parviendrons peut-être ainsi à leur rendre service; c’est quelque chose. Il serait en tous cas dangereux de ne pas avoir chez nous un instrument de recherche analogue à celui qui se répand de plus en plus rapidement chez eux. [...] Mais il y a aussi des articles qui manquent manifestement dans l’édition allemande. C’est à peine si l’on mentionne, par exemple, les recherches sur les lois des grands nombres. Là un article additionnel semblerait peut-être indiqué; les recherches de M. Darboux, les vôtres, celles d’Hadamard devraient trouver place dans notre édition. Vous me direz s’il vous convient d’en parler vous-même, ou si vous croyez bon de confier à d’autres cet article.

  37. 37.

    Schwarz’s treatise was also published in French, under the title Formules et propositions pour l’emploi des fonctions elliptiques, d’après des leçons et des notes manuscrites de M. K. Weierstrass, translated by Henri Padé, Gauthier-Villars, Paris, 1894. The translation was offered to Charles Hermite at the occasion of his seventieth birthday.

  38. 38.

    The French doctorate (until a reform which took place at the end of the 1980s) always involved a second thesis, on a subject which was proposed by the jury, about 3 months before the date of the thesis defense. The work done for that second thesis was not necessarily original, but it was an occasion for the student to familiarize himself with a subject which was not his main research subject.

  39. 39.

    We remind the reader that the École Polytechnique is primarily a military school.

  40. 40.

    A Captain in the Navy.

  41. 41.

    A Frigate Captain. The progress is unusual because the rank of Capitaine de frégate is lower than that of Capitaine de vaisseau.

  42. 42.

    See Footnote 30. From 1900 to 1906, Simart worked as a répétiteur at the École Polytechnique.

  43. 43.

    On connaît les magnifiques résultats auxquels Riemann est parvenu dans ses deux mémoires relatifs à la théorie générale des fonctions et à la théorie des fonctions abéliennes; mais les méthodes qu’il a employées, peut-être trop succinctement exposées, sont peu connues en France. La lecture de ces mémoires est d’ailleurs singulièrement difficile et demande un travail approfondi. De plus, les procédés employés par l’illustre géomètre, en particulier l’application qu’il a faite du principe de Dirichlet, ont donné lieu à de nombreuses critiques tant en Allemagne qu’en France.

  44. 44.

    Klein, in his Development of mathematics in the 19th century [59], gives a concise report on the contribution of these authors to the diffusion of Riemann’s work.

  45. 45.

    This should be Klein’s Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale [58].

  46. 46.

    Dans son mémoire précédemment cité, M. Cahen présente une démonstration du théorème énoncé par Halphen: La somme des logarithmes des nombres premiers inférieurs à x est asymptotique à x. Toutefois son raisonnement dépend de la proposition de Stieltjes sur la réalité des racines de \(\zeta (\frac{1}{2}+ti)=0\). Nous allons voir qu’en modifiant légèrement l’analyse de l’auteur on peut établir le même résultat en toute rigueur.

  47. 47.

    Hadamard was studying, at the same period, a notion of genus for entire functions. In particular, he gave a formula for the growth of the moduli of the roots of such functions in terms of their power series expansion.

  48. 48.

    Le dernier anneau de la chaîne de déductions commencée dans ma Thèse et continuée dans mon Mémoire couronné aboutit à l’éclaircissement des propriétés les plus importantes de la fonction \(\zeta (s)\) de Riemann.

    Par la considération de cette fonction, Riemann détermine la loi asymptotique de fréquence des nombres premiers. Mais son raisonnement suppose: (1) que la fonction \(\zeta (s)\) a des zéros en nombre infini; (2) que les modules successifs de ces zéros croissent à peu près comme \(n\log n\); (3) que, dans l’expression de la fonction auxiliaire \(\xi (t)\) en facteurs primaires, aucun facteur exponentiel ne s’introduit.

    Ces propositions étant restées sans démonstration, les résultats de Riemann restaient complètement hypothétiques, et il n’en pouvait être recherché d’autres dans cette voie. De fait, aucun essai n’avait été tenté dans cet ordre d’idées depuis le Mémoire de Riemann, à l’exception: (1) de la Note précédemment citée d’Halphen, qui était, en somme, un projet de recherches pour le cas où les postulats de Riemann seraient établis; (2) d’une Note de Stieltjes, où ce géomètre annonçait une démonstration de la réalité des racines de \(\xi (t)\), démonstration qui n’a jamais été produite depuis.

    Or les propositions dont j’ai rappelé tout à l’heure l’énoncé ne sont qu’une application évidente des théorèmes généraux contenus dans mon Mémoire.

    Une fois ces propositions établies, la théorie analytique des nombres premiers put, après un arrêt de trente ans, prendre un nouvel essor; elle n’a cessé, depuis ce moment, de faire de rapides progrès.

    C’est ainsi que la connaissance du genre de \(\zeta (s)\) a permis, tout d’abord, à M. von Mangoldt d’établir en toute rigueur le résultat final du Mémoire de Riemann. Auparavant, M. Cahen avait fait un premier pas vers la solution du problème posé par Halphen; mais il n’avait pu arriver complètement au but: il fallait, en effet, pour achever de construire d’une façon inattaquable le raisonnement d’Halphen, prouver encore que la fonction \(\zeta \) n’avait pas de zéro sur la droite \(\mathrm {R}(s)=1\).

    J’ai pu vaincre cette dernière difficulté en 1896, pendant que M. de la Vallée-Poussin parvenait de son côté au même résultat. La démonstration que j’ai donnée est d’ailleurs de beaucoup la plus rapide et M. de la Vallée-Poussin l’a adoptée dans ses publications ultérieures. Elle n’utilise que les propriétés les plus simples de \(\zeta (s)\).

    En même temps j’étendais le raisonnement aux séries de Dirichlet et, par conséquent, déterminais la loi de distribution des nombres premiers dans une progression arithmétique quelconque, puis je montrais que ce raisonnement s’appliquait de lui-même aux formes quadratiques à déterminant négatif. Les mêmes théorèmes généraux sur les fonctions entières ont permis, depuis, à M. de la Vallée-Poussin d’achever ce cycle de démonstrations en traitant le cas des formes à \(b^2-ac\) positif.

  49. 49.

    Je me propose d’élucider, s’il m’est possible, un mémoire remarquable de Riemann, relatif aux surfaces minima. L’illustre auteur a brièvement indiqué la plupart des résultats qu’il a obtenus; j’espère les avoir établis d’une manière satisfaisante.

    Riemann se sert de variables imaginaires que l’on ramène immédiatement aux variables employées avant lui par M. O. Bonnet, dans plusieurs mémoires importants sur la théorie générale des surfaces. En effet, le logarithme népérien de la variable \(\mu \), choisie par Riemann, est égal à \(y+x\sqrt{-1}\) et le logarithme de la variable conjuguée \(\mu '\) est égal, par suite, à \(y-x\sqrt{-1}\), x et y étant les variables indépendantes adoptées par M. O. Bonnet. Je pense ne rien exagérer en affirmant que les recherches savantes de M. O. Bonnet ont inspiré celles de Riemann.

  50. 50.

    Vous êtes bien aimable d’avoir fini le Riemann. Il y a une perle que tout le monde y découvrira, je l’espère. C’est la définition de l’intégrale définie. C’est de là que j’ai tiré une foule de fonctions qui n’ont pas de dérivées.

  51. 51.

    Jusqu’à l’apparition du mémoire de Riemann sur les séries trigonométriques aucun doute ne s’était élevé sur l’existence de la dérivée des fonctions continues. D’excellents, d’illustres géomètres, au nombre desquels il faut compter Ampère, avaient essayé de donner des démonstrations rigoureuses de l’existence de la dérivée. Ces tentatives étaient loin sans doute d’être satisfaisantes; mais je le répète, aucun doute n’avait été formulé sur l’existence même d’une dérivée pour les fonctions continues.

    La publication du mémoire de Riemann a décidé la question en sens contraire. À l’occasion des séries trigonométriques, l’illustre géomètre expose ses idées sur le principe du Calcul Infinitésimal: il généralise, par une de ces vues qui n’appartient qu’aux esprits de premier ordre, la notion d’intégrale définie; il montre qu’elle est applicable à des fonctions discontinues dans tout intervalle, et il énonce les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction, continue ou discontinue, soit susceptible d’intégration. Ce seul fait, qu’il existe des fonctions discontinues susceptibles d’intégration, suffit à prouver, comme on le verra, qu’il y a des fonctions continues n’ayant pas de dérivée, et cette conséquence des travaux de Riemann n’a pas tardé à être admise par les géomètres allemands.

    [...] Dans le travail qu’on va lire, je reprends, en donnant tous les développements nécessaires, les définitions de l’intégrale définie d’après Riemann, et je montre comment cette définition doit conduire à une infinité de fonctions continues n’ayant pas de dérivée.

  52. 52.

    Ce Mémoire avait été froidement accueilli par plusieurs de ceux qui habituellement s’intéressaient à ses travaux. Ils l’avaient dissuadé de labourer plus longtemps le champ stérile des fonctions qui n’ont pas de dérivée.

  53. 53.

    J’apprécie autant les derniers travaux de Riemann (mort jeune je crois) que sa dissertation sur les fonctions de variable complexe dont l’importance m’a semblé parfois exagérée.

  54. 54.

    [...] C’est pour la résolution de ces problèmes, et non par amour des complications, que j’ai introduit dans ce livre une définition de l’intégrale plus générale que celle de Riemann et comprenant celle-ci comme cas particulier.

    Ceux qui me liront avec soin, tout en regrettant peut-être que les choses ne soient pas plus simples, m’accorderont, je le pense, que cette définition est nécessaire et naturelle. J’ose dire qu’elle est, en un certain sens, plus simple que celle de Riemann, aussi facile à saisir que celle-ci et que, seules, des habitudes d’esprit antérieurement acquises peuvent faire paraître plus compliquée. Elle est plus simple parce qu’elle met en évidence les propriétés les plus importantes de l’intégrale, tandis que la définition de Riemann ne met en évidence qu’un procédé de calcul. C’est pour cela qu’il est presque toujours aussi facile, parfois même plus facile, à l’aide de la définition générale de l’intégrale, de démontrer une propriété pour toutes les fonctions auxquelles s’applique cette définition, c’est-à-dire pour toutes les fonctions sommables, que de la démontrer pour toutes les fonctions intégrables, en s’appuyant sur la définition de Riemann. Même si l’on ne s’intéresse qu’aux résultats relatifs aux fonctions simples, il est donc utile de connaître la notion de fonction sommable parce qu’elle suggère des procédés rapides de démonstration.

  55. 55.

    Tous nos géomètres, quoique tous fort distingués, semblent appartenir à un autre âge. Ce sont des savants éminents restés à la science d’il y a vingt ou trente ans qu’ils perfectionnent, développent avec beaucoup de succès, mais toutes les branches modernes sont pour eux très accessoires.

  56. 56.

    [...] on commence à s’occuper beaucoup en France des variables complexes. Il est singulier que cette théorie née en France par le travail de Cauchy ait reçu les plus beaux développements à l’étranger, mais je ne sais si vous serez de mon avis, je trouve que les Allemands ne sont pas justes envers Cauchy. Ils profitent de ses travaux mais ne le citent presque jamais.

  57. 57.

    Leur conduite vis à vis de Cauchy est indigne. Tous les exemplaires de Cauchy partent pour l’Allemagne. Gauthier-Villars me l’a bien dit et cependant il n’est jamais cité.

  58. 58.

    Le travail de Weierstrass est antérieur à celui de Messieurs Briot et Bouquet, mais M. Poincaré qui devait savoir ça par le mémoire de Madame Kowalewski—s’il n’a pas connu le travail Analytische Facultäten—n’en dit pas un mot. Monsieur de Ramsey m’a raconté qu’il a entendu par M. Molk—l’étudiant français qui suit le cours de M. Weierstrass à Berlin—que M. Poincaré déteste les Allemands, ce que je trouve fort naturel, et qu’il a pour principe de ne jamais citer un auteur allemand ce qui serait fort mal si c’était vrai.

  59. 59.

    L’abstraction, qui est un charme pour les Allemands, nous gêne et jette sur les conséquences comme un voile qui nous dérobe une partie jusqu’à ce que nous ayons fait pour y parvenir un chemin plus à notre convenance.

  60. 60.

    The correspondence is reproduced in Jacobi’s Collected Works, [54] t. I, pp. 385–461, and in Crelle’s Journal, 80 (1875), pp. 205–279.

  61. 61.

    This is Paul Appell’s memoir Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au développement des fonctions Abéliennes en séries trigonométriques (mémoire couronné par S. M. le roi Oscar II, le 21 janvier 1889).

  62. 62.

    L’histoire de la science garde à jamais le souvenir des relations de Legendre et de Jacobi; quelque chose de bon et d’affectueux se dégage de la correspondance entre ces grands géomètres, qui a exercé son influence sur leurs successeurs. Aucune division ne s’est jamais montrée entre les mathématiciens des deux pays; c’est en entretenant des relations d’amitié qu’ils ont suivi la même voie dans leurs travaux, et le mémoire couronné d’Appell est un témoignage éclatant, par son mérite hors ligne, par le lustre nouveau qu’il jette sur Riemann, de l’intime alliance des génies des deux nations, pour la marche en avant de la science.

  63. 63.

    [...] J’ai écrit à l’ambassadeur de France une lettre qu’Appell a lue avec grande attention à ma demande, et à laquelle il a donné son plus complet assentiment. J’exprimais naturellement les sentiments que nous éprouvons tous de sympathie et d’admiration pour les géomètres qui sont à l’honneur et la gloire de la science allemande.

  64. 64.

    [...] Permettez-moi de vous engager à prendre surtout connaissance des travaux de Mr. Kronecker qui m’a infiniment dépassé dans ce genre de recherches et à qui l’on doit les découvertes les plus remarquables et les plus fécondes. Les notions de classes et de genres dans la théorie des formes quadratiques ont été entièrement rattachées à l’analyse par l’éminent géomètre [...] Quelques uns des beaux résultats découverts par Mr. Kronecker, et publiés dans les Monatsbericht, ont été à ma demande traduits en français et ont paru, vers 1859 ou 1860, dans les Annales de l’École Normale Supérieure. Mais il faut lire dans ce même recueil des Monatsbericht de l’Académie des Sciences de Berlin, et sans en rien omettre, tout ce qui est sorti de la plume du grand géomètre.

  65. 65.

    Le don de voir, qui lui a été départi si généreusement, M. Klein le rapporte modestement à la race teutonique, dont la puissance naturelle d’intuition serait un attribut prééminent.

  66. 66.

    La notion de l’intégration le long d’une courbe avait été exposée, sous la forme la plus simple et la plus facile, avec de nombreuses et importantes applications qui en montraient la portée, dès 1825, dans un Mémoire de Cauchy ayant pour titre Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires; mais elle reste dans les mains de l’illustre Auteur; il faut attendre vingt-cinq ans, jusqu’aux travaux de Puiseux, de Briot, de Bouquet, pour qu’elle prenne son essor et rayonne dans l’Analyse. La notion profonde des surfaces de Riemann, qui est d’un accès difficile, s’introduit sans retard et domine bientôt la Science pour y rester à jamais.

  67. 67.

    The translation is by Gallagher and M. Weissbach, cf. [100].

References

  1. N.H. Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques. Journal für die reine und angewandte Mathematik 2, 101–181 (1827)

    Google Scholar 

  2. P. Appell, Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d’un corps solide. Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris (Gauthier-Villars, Paris, 1876)

    Google Scholar 

  3. P. Appell, Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d’un corps solide. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Série 2(5), 245–274 (1876)

    Google Scholar 

  4. P. Appell, É. Goursat, Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales: Étude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann (Gauthier-Villars, Paris, 1895)

    Google Scholar 

  5. P. Appell, E. Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications (Gauthier-Villars, Paris, 1897)

    Google Scholar 

  6. P. Appell, É. Goursat, P. Fatou, Étude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann (Gauthier-Villars, 1929)

    Google Scholar 

  7. O. Bonnet, Mémoire sur la théorie générale des surfaces. Journal de l’école Polytechnique 19, 1–133 (1848)

    Google Scholar 

  8. O. Bonnet, Sur la surface réglée dont les rayons de courbure principaux sont égaux et dirigés en sens contraires. Journal de l’école Polytechnique. Paris. 19, 134–136 (1848)

    Google Scholar 

  9. O. Bonnet, Observations sur les surfaces minima. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, vol. 41 (1855), pp. 1057–1058

    Google Scholar 

  10. O. Bonnet, Sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans l’équation générale des surfaces à aire minimum. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, vol. 40 (1855), pp. 1107–1110

    Google Scholar 

  11. O. Bonnet, Nouvelles remarques sur les surfaces à aire minima. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, vol. 42 (1856), pp. 532–535

    Google Scholar 

  12. O. Bonnet, Sur la surface réglée minima. Bulletin des Sciences Mathématiques 9, 14–15 (1885)

    MATH  Google Scholar 

  13. U. Bottazini, Algebraic truths versus Geometric fantasies, Weierstrass’ response to Riemann ed. By T.T. Li, et al. Proceedings ICM, Beijing, China, August 20–28, 2002, Vol. III, Beijing, Higher Education Press, pp. 923–924

    Google Scholar 

  14. J.-C. Bouquet, Sur la variation des intégrales doubles. Thèse d’analyse présentée à la Faculté des sciences de Paris (Imprimerie Bachelier, Paris, 1843)

    Google Scholar 

  15. Ch.-A. Briot, Sur le mouvement d’un corps solide autour d’un point fixe. Présentée à la Faculté des Sciences de Paris (Imprimerie Bachelier, Paris, 1842)

    Google Scholar 

  16. Ch.-A. Briot, J.-C. Bouquet, Étude des fonctions d’une variable imaginaire (Premier mémoire). Jour. Éc. Polytechnique 21, 85–121 (1856)

    Google Scholar 

  17. Ch.-A. Briot, J.-C. Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques, 1st edn. (Gauthier-Villars, Paris, 1859)

    Google Scholar 

  18. Ch.-A. Briot, J.-C. Bouquet, Theorie der doppelt-periodischen Functionen und insbesondere der elliptischen Transcendenten. Dargestellt von H. Fischer, Helle, (1862). Translation of [20]

    Google Scholar 

  19. Ch.-A. Briot, J.-C. Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 2nd edn. of [19] (1875)

    Google Scholar 

  20. Ch.-A. Briot, Théorie des fonctions abéliennes (Gauthier-Villars, Paris, 1879)

    Google Scholar 

  21. E. Cahen, Sur la fonction \(\zeta (s)\) de Riemann et sur des fonctions analogues, Thèse de doctorat présentée à la Faculté des Sciences de Paris (Gauthier-Villars, 1895)

    Google Scholar 

  22. E. Cahen, Sur la fonction \(\zeta (s)\) de Riemann et sur des fonctions analogues, Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 3e série 11, pp. 75–164 (1894)

    Google Scholar 

  23. A. Cauchy, Mémoire sur les intégrales définies (1814), Mémoires présentés par divers savants à l’Académie royale des sciences de l’Institut de France 1(1827) pp. 611–799. in Œuvres, série 1, tome I, pp. 319–506

    Google Scholar 

  24. A. Clebsch, P.A. Gordan, Theorie der Abelschen Funktionen (Teubner, 1866)

    Google Scholar 

  25. G. Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, Annales Sc. de l’École Normale Supérieure, 2e série, vol. 4 (1875), pp. 57–112

    Google Scholar 

  26. G. Darboux, J. Hoüel, La correspondance de G. Darboux avec J. Hoüel. Chronique d’un rédacteur (déc. 1869-nov., ed. By H. Gispert, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 8(1987), pp. 67–202 (1871)

    Google Scholar 

  27. J. Dieudonné, Article “Poincaré,” Dictionary of Scientific Biography, vol. XI (Charles Scribner’s Sons, New York, 1975), pp. 51–61

    Google Scholar 

  28. P. Dugac, Éléments d’analyse de Karl Weierstrass. Arch. Hist. Exat Sci. 10, 41–167 (1973)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  29. P. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor (Université de Paris, Thèse de doctorat, 1906)

    Google Scholar 

  30. P. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor. Acta Math. 30, 335–400 (1906)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  31. H. Gispert, Les débuts de l’histoire des mathématiques sur les scènes internationales et le cas de l’entreprise encyclopédique de Félix Klein et Jules Molk. Hist. Math. 26, 344–360 (1999)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  32. É. Goursat, Sur l’équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéométrique de Gauss, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, 2e série, 10, pp. 107–136 (1881)

    Google Scholar 

  33. É. Goursat, Sur l’équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Série 2(10), 3–142 (1881)

    Google Scholar 

  34. É. Goursat, Cours d’analyse mathématique, Paris, Gauthier-Villars, 1ère édition, 2 volumes, 1902–1905, 2e édition, 3 volumes, 1910–1913

    Google Scholar 

  35. É. Goursat, Translation of [41]: a course in mathematical analysis. New York, Ginn & Co., 3 volumes, 1904–1917. Reprint, New York, Dover, 1959. (Translated By E.R. Hedrick, O. Dunkel)

    Google Scholar 

  36. É. Goursat, Démonstration du théorème de Cauchy. Acta Math. 4, 197–200 (1884)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  37. J. Hadamard, Notice sur les travaux scientifiques de M. Jacques Hadamard (Gauthier-Villars, Paris, 1901)

    Google Scholar 

  38. J. Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction \(\zeta (s)\) et ses conséquences arithmétiques. Bulletin de la Société Mathématique de France 24, 199–220 (1896)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  39. J. Hadamard, Notions élémentaires sur la géométrie de situation, Ann. de math., 4e série, (1909) t. 9, pp. 193–235

    Google Scholar 

  40. H.-G. Halphen, Sur les invariants différentiels. Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris (Gauthier-Villars, Paris, 1878)

    Google Scholar 

  41. G.-H. Halphen, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, 3 volumes (Gauthier-Villars, Paris, 1886, 1888, 1891)

    Google Scholar 

  42. Ch. Hermite, Sur la résolution de l’équation du cinquième degré, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, vol. 46 A (1858), pp. 508–515

    Google Scholar 

  43. Ch. Hermite, Sur la résolution de l’équation du cinquième degré, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, vol. 46 A (1858), pp. 715–722

    Google Scholar 

  44. Ch. Hermite, Cours d’analyse de l’École Polytechnique (Gauthier-Villars, Paris, 1873)

    Google Scholar 

  45. Ch. Hermite, Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences de Paris, Rédigé en 1882 par M. Andoyer, 1st ed. 1882, 2nd ed. 1883, 3d edn. 1887, 4th ed. 1891. Hermann, Paris, 4th edn. (1891)

    Google Scholar 

  46. C. Hermite, Lettres de Charles Hermite à Gösta Mittag-Leffler (1874–1883). Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, tome 5, 49–285 (1984)

    Google Scholar 

  47. C. Hermite, Lettres de Charles Hermite à Gösta Mittag-Leffler (1884-1891). Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, tome 6, 79–217 (1985)

    Google Scholar 

  48. C. Hermite, Lettres de Charles Hermite à Gösta Mittag-Leffler (1892-1900) Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, tome 10, 1–82 (1989)

    Google Scholar 

  49. C. Hermite, Œuvres de Charles Hermite, publiées sous les auspices de l’Académie des sciences par Émile Picard, 4 volumes (Gauthier-Villars, Paris, 1905–1917)

    Google Scholar 

  50. D. Hilbert, Über die grundlagen der geometrie. Geom. Math. Annalen 56, 381–422 (1903)

    Article  MATH  Google Scholar 

  51. L. Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen: festschrift zu Herrn Eduard Kummers fünzigjährigem Doctor-Jubiläum, 10., Druck und verlag von G (Reimer, Berlin, 1881). (Septembe, 1882)

    Google Scholar 

  52. C.G.J. Jacobi, Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum, vol. 2, Regiomonti. Sumtibus fratrum Bornträger, 1829. in Collected works, tome 1, pp. 49–239

    Google Scholar 

  53. C.G.J. Jacobi, Solution nouvelle d’un problème fondamental de géodésie. Journal für die reine und angewandte Mathematik 53, 335–341. Gesammelte Werke, t. II, 417–424 (1857)

    Google Scholar 

  54. C.G.J. Jacobi, Gesammelte Werke, Herausgegeben auf Veranlassung der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften ed. By C.W. Borchardt, vol. 8 (New edition, Cambridge Library Collection, pp. 1881–1891)

    Google Scholar 

  55. H.N. Jahnke (ed.), in A History of Analysis, American Mathematical Society and London Mathematical Society History of Mathematics series, vol. 24 (2003)

    Google Scholar 

  56. C. Jordan, Sur le nombre des valeurs des fonctions. Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris (Mallet-Bachelier, Paris, 1860)

    Google Scholar 

  57. C. Jordan, Cours d’analyse de l’École Polytechnique, vol. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1st edn. 1882 (vol. I), 1883 (vol. II), 1887 (vol. III)

    Google Scholar 

  58. F. Klein, Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Teubner, Leipzig, 1882. English translation: On Riemann’s theory of algebraic functions and their integrals; a supplement to the usual treatises. (Translated from the German by Frances Hardcastle, Macmillan and Bowes, Cambridge, 1893. Reprint: New York, Dover Publications, 1963)

    Google Scholar 

  59. F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im vol. 19.2, Julius (Springer, Berlin, 1926). Development of mathematics in the 19th century, Math. Sci. Press, Brookline, Mass.,1979. (English translation By M. Ackermann)

    Google Scholar 

  60. É. Lacour, Sur des fonctions d’un point analytique à multiplicateurs exponentiels ou à périodes rationnelles. Thèse pour le doctorat de la Faculté des Sciences de Paris (Gauthier-Villars, Paris, 1895)

    Google Scholar 

  61. E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Leipzig B.G. Teubner, 1909. (Reprint, Chelsea 1953)

    Google Scholar 

  62. H. Lebesgue, Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (Gauthier-Villars, Paris, 1904)

    Google Scholar 

  63. A.-M. Legendre, Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, 3 volumes, Paris, Courcier, 1811–1816

    Google Scholar 

  64. A.-M. Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique, 3 volumes, Paris, Huzard-Courcier, 1825–1828

    Google Scholar 

  65. H. Lebesgue, Lettres d’Henri Lebesgue à Émile Borel. Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 12, 1–506 (1991)

    Google Scholar 

  66. J. Liouville, Leçons sur les fonctions doublement périodiques, faites en 1847, Première partie. Théorie générale. Journal für die reine und angewandte Mathematik 88, 277–310 (1880)

    Google Scholar 

  67. M.G. Mittag-Leffler, Une page de la vie de Weierstrass, in Proceedings of the Second ICM, Paris, 1900 (Gauthiers-Villars, Paris, 1902), pp. 131–153

    Google Scholar 

  68. J. Molk, Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie générale de l’élimination. Acta Math. 6, 1–165 (1885)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  69. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale, Leipzig, Teubner, 1865. 2nd revised edn. (1884)

    Google Scholar 

  70. A.B. Niewenglowski, Exposition de la méthode de Riemann pour la détermination des surfaces minima de contour donné, Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 2e série 9, pp. 227–300 (1880)

    Google Scholar 

  71. A.B. Niewenglowski, Exposition de la méthode de Riemann pour la détermination des surfaces minima de contour donné. Thesis submitted to the Faculté des Sciences (Gauthier-Villars, Paris, 1880)

    Google Scholar 

  72. W.F. Osgood, Review of Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales by P. Appell, É. Goursat. Bull. Am. Math. Soc. 317–327 (1896)

    Google Scholar 

  73. W.F. Osgood, Review of Cours d’analyse mathématique by Édouard Goursat, Tome I, Gauthier-Villars, Paris. Bull. Am. Math. Soc. 9(1902–1903), 547–555 (1902)

    Google Scholar 

  74. W.F. Osgood, Review of Cours d’analyse mathématique by Édouard Goursat, Tome II, Gauthier-Villars, Paris, 1905. Bull. Am. Math. Soc. 15(3), 120–126 (1908)

    Google Scholar 

  75. A. Papadopoulos, Looking backward: euler and Riemann, this volume, Chap. 1, pp. 1–81

    Google Scholar 

  76. A. Papadopoulos, Physics in Riemann’s mathematical papers, this volume, Chap. 6, pp. 151–199

    Google Scholar 

  77. A. Papadopoulos, Cauchy and Puiseux: Two precursors of Riemann, this volume, Chap. 7, pp. 209–232

    Google Scholar 

  78. J. Pfeiffer, Joseph Liouville (1809–1882): ses contributions à la théorie des fonctions d’une variable complexe. Revue d’histoire des sciences, t. 36(3–4), 209–248 (1983)

    Article  MATH  Google Scholar 

  79. É. Picard, Traité d’analyse, 3 volumes (Gauthier-Villars, Paris, 1891, 1893, 1896)

    Google Scholar 

  80. É. Picard, Application de la théorie des complexes linéaires à l’étude des surfaces et des courbes gauches. Thèse présentée à la Faculté des sciences de Paris (Gauthier-Villars, Paris, 1877)

    Google Scholar 

  81. É. Picard, Application de la théorie des complexes linéaires à l’étude des surfaces et des courbes gauches. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Série 2(6), 329–366 (1877)

    Google Scholar 

  82. É. Picard, Notice sur G.-H. Halphen, in: G.-H. Halphen, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, [48], vol. III

    Google Scholar 

  83. É. Picard, G. Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, 2 volumes, Paris, Gauthier-Villars, 1897–1906 (Chelsea Publishing Co., Bronx, N.Y, Reprinted in one volume, 1971)

    Google Scholar 

  84. É. Picard, La vie et l’œuvre de Jules Tannery, Académie des Sciences, lecture faite dans la séance publique annuelle du14 décembre (1925)

    Google Scholar 

  85. J. Pierpont, Mathematical instruction in France. Bull. Amer. Math. Soc. 6(6), 225–249 (1900)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  86. H. Poincaré, Correspondance avec Paul Appell. Cahier du séminaire d’histoire des mathématiques 7, 61–80 (1986)

    Google Scholar 

  87. H. Poincaré, Analysis situs, J. École Polytechnique (2) 1, 1895, pp. 1–121. Œuvres, Vol. VI, pp. 193–288

    Google Scholar 

  88. H. Poincaré, Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincaré faite par lui-même, Acta Math. 38, 36-135 (1921). (Œuvres, vol. I)

    Google Scholar 

  89. H. Poincaré, La correspondance avec des mathématiciens de A à H, ed. By P. Dugac, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, tome 10 (1986), pp. 59–219

    Google Scholar 

  90. H. Poincaré, La correspondance avec des mathématiciens de J à Z, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, ed. By P. Dugac, tome 10 (1989), pp. 83–229

    Google Scholar 

  91. L. Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps (Première et deuxième Parties). Journal de mathématiques pures et appliquées, 1ère série, 16, 9–129 (1851)

    Google Scholar 

  92. B. Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, (Göttingen, 1851), [109] pp. 3–48

    Google Scholar 

  93. B. Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (On the representability of a function by a trigonometric series). Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1867)

    Google Scholar 

  94. B. Riemann, Theorie der Abel’schen Functionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 115–155 (1857). Reprinted in his Gesammelte mathematische Werke [109], pp. 88–144

    Google Scholar 

  95. B. Riemann, Über die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung, Abh. Königl. d. Wiss. Göttingen, Mathem. Cl., 13, 3–52 (1867)

    Google Scholar 

  96. B. Riemann, Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 9, 3–36 (1861)

    Google Scholar 

  97. B. Riemann, Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe \(F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)\) darstellbaren Functionen. Aus dem siebenten Band der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1857), pp. 3–32

    Google Scholar 

  98. B. Riemann, Collected works translated into French: oeuvres mathématiques de Riemann, traduites par L. Laugel, avec une préface de C. Hermite, Paris, (Gauthier-Villars 1898)

    Google Scholar 

  99. B. Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, published By R. Dedekind, after Riemann’s death, in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. French translation in [110], pp. 280–299

    Google Scholar 

  100. The Riemann letters at the Prussian cultural archive, mimeographed notes (1981). (translated By R. Gallagher, M. Weissbach)

    Google Scholar 

  101. G. Roch, Über die Anzahl der willkürlichen Constanten in algebraischen Functionen. J. Reine Angew. Math. 64, 372–376 (1865)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  102. H.A. Schwarz, Auszug aus einem Briefe an Herrn F. Klein, Complete Works, vol. II

    Google Scholar 

  103. G. Simart, Commentaire sur deux mémoires de Riemann relatifs à la théorie générale des fonctions et au principe de Dirichlet. Thèse de doctorat, Faculté des sciences, Paris (Gauthier-Villars, 1882)

    Google Scholar 

  104. T.J. Stieltjes, Sur une fonction uniforme. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, 101, 153–154 (1885)

    Google Scholar 

  105. J. Tannery, Propriétés des intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients variables. Thèse présentée à la Faculté ses sciences de Paris (Gauthier-Villars, 1874)

    Google Scholar 

  106. J. Tannery : Propriétés des intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients variables. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, 2e série, 4, 113–182 (1875)

    Google Scholar 

  107. J. Tannery, J. Molk, Éléments de la théorie des fonctions elliptiques, Paris (Gathier-Villars, 1893, 1896, 1898 and 1902)

    Google Scholar 

  108. O. Teichmüller, Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale. Abh. Preuss. Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. 22 (1940), 1–197. (English translation By G. Théret), Extremal quasiconformal mappings and quadratic differentials. In Handbook of Teichmüller theory (ed. A. Papadopoulos), vol. V (EMS Publishing House, Zürich 2015), pp. 321–483

    Google Scholar 

  109. K. Weierstrass, Über das sogenannte Dirichlet’sche Princip, Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 14. Juli 1870, Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre, Teubner-Archiv zur Mathematik vol. 9, 1988, pp. 184–189; published in Weierstrass’ Mathematische Werke, 2, Mayer and Müller, Berlin (1895), pp. 49–54

    Google Scholar 

  110. H. Weyl, Die Idee, der Riemannschen Fläche. B.G. Teubner, Leipzig, (English translation By G.R. MacLane), The concept of a Riemann surface, Addison-Wesley, 1913). 1955

    Google Scholar 

  111. S. Yamada, Riemann on minimal surfaces. This volume, Chapter 5, pp. 135–150

    Google Scholar 

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Acknowledgements

The author would like to thank Vincent Alberge, Marie Pascale Hautefeuille and Ken’ichi Ohshika for reading a preliminary version of this chapter.

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Authors and Affiliations

  1. Institut de Recherche Mathématique Avancée, CNRS et Université de Strasbourg, 7 rue René Descartes, 67084, Strasbourg Cedex, France

    Athanase Papadopoulos

  2. Mathematics Department, Brown University, 151 Thayer Street, Providence, RI, 02912, USA

    Athanase Papadopoulos

Authors
  1. Athanase Papadopoulos
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Correspondence to Athanase Papadopoulos .

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Editors and Affiliations

  1. Department of Mathematics, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, USA

    Lizhen Ji

  2. University of Strasbourg, CNRS, Institut de Recherche Mathématique Avancée, Strasbourg Cedex, France

    Athanase Papadopoulos

  3. Department of Mathematics, Gakushuin University, Tokyo, Japan

    Sumio Yamada

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Papadopoulos, A. (2017). Riemann Surfaces: Reception by the French School. In: Ji, L., Papadopoulos, A., Yamada, S. (eds) From Riemann to Differential Geometry and Relativity. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-60039-0_8

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