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Cauchy and Puiseux: Two Precursors of Riemann

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From Riemann to Differential Geometry and Relativity

Abstract

In this chapter, we review the works of Cauchy and Puiseux on the theory of functions of a complex variable that preceded Riemann’s introduction of what soon became known as Riemann surfaces. The work of the two French mathematicians (especially that of Puiseux) inaugurates a group-theoretic point of view which complements the topological one discovered by Riemann.

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Notes

  1. 1.

    It may be useful to recall that Dedekind, in his notes on Riemann’s life published in the Collected works edition [63], states that Riemann probably conceived his ideas on Riemann surfaces in 1847.

  2. 2.

    The Bureau des longitudes is a French institution in charge of geodesy, standardisation of time-keeping, and astronomical measurements. The names of famous members of the Bureau include Lagrange, Laplace and Poincaré.

  3. 3.

    In this chapter, all the translations from the French are mine.

  4. 4.

    Victor Puiseux était d’une modestie intimidante, d’une patience et d’une politesse admirables. Quand un élève avait, dans une interrogation, énoncé quelque énormité, il se contentait de lui dire d’un ton très doux: “Je ne sais pas si j’ai bien entendu ou si je me trompe, mais il me semble que ce que vous avez dit n’est pas tout à fait exact.”

  5. 5.

    L’intégrale \(\int _c^k udz\), prise le long de la ligne CMK, ne changera pas de valeur, si, les points C et K restant fixes, cette ligne vient à se déformer, sans franchir toutefois aucun point pour lequel la fonction \(u_1\) devient infinie ou égale à une autre racine de l’équation \(f(u,z)=0.\)

  6. 6.

    Les théorèmes de n\({\mathrm {os}}\) 9, 10, 11 ont été donnés par M. Cauchy dans les Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences, année 1846. Seulement l’illustre géomètre caractérise les points que le chemin parcouru ne doit pas franchir en disant que, pour ces points, la fonction devient discontinue: comme je me borne ici aux fonctions algébriques, j’ai cru donner plus de précision aux énoncés et aux démonstrations en disant que les points dont il s’agit sont ceux pour lesquels la fonction u devient infinie ou une racine multiple de l’équation \(f(u,z)=0\).

  7. 7.

    In this context, a “substitution” means a permutation of letters. This word substitution is used e.g. in Jordan’s Traité des substitutions et des équations algébriques [39].

  8. 8.

    Isaac Newton, Letter to Oldenburg, October 24, 1676.

  9. 9.

    It is usually considered that the first abstract definition of a group is contained in the 1854 paper by Arthur Cayley [24]. But the notion of group appears in essence, as a group of permutations of the roots of an algebraic equation, in works of various people on the solutions of polynomial equations of degree \(\ge 4\), in particular the work of Galois. Klein writes, in his Development of mathematics in the 19th century ([42] p. 316 of the English translation), that “group theory first developed in the theory of algebraic equations [...] the central significance of group theory for algebraic equations first appeared in the work of Galois in 1831 (from whom the term ‘group’ also stems).”

  10. 10.

    Let us note that Riemann used the word “monodromic” in his memoir on Abelian functions [60] for a function which is uniform, or single-valued. He (§ 1): “To simplify the designation of these relations, we shall call the various extensions of one function, for some fixed portion of the plane of the z, the branches of this function, and a point around which a branch of the function extends in another one a ramification point of the function. Everywhere where there is no ramification, the function will be monodromic or uniform.”

  11. 11.

    The notation \(\mathrm {am}\) is used in the theory of elliptic functions. It denotes the Jacobi amplitude.

  12. 12.

    Les propositions données par Mr. Puiseux, sur les racines des équations algébriques considérées comme fonctions d’une variable z, qui entre rationnellement dans leur premier membre, me semblent ouvrir un vaste champ de recherches destinées à jeter un grand jour sur la nature analytique de ce genre de quantités. Je me propose de donner ici le principe de ces recherches, et de faire voir comment elles conduisent à reconnaître si une équation quelconque

    $$\begin{aligned} F(u,z)=0 \end{aligned}$$

    est résoluble algébriquement, c’est-à-dire si l’inconnue u peut être exprimée par une fonction de la variable z, ne contenant cette variable que sous les signes d’extraction de racines de degré entier. Les théorèmes auxquels nous serons ainsi amenés donneront, et sous un point de vue entièrement nouveau, le beau résultat obtenu par Abel sur la possibilité d’exprimer algébriquement \(\sin \mathrm {am} \big (\frac{x}{n}\big )\) par \(\sin \mathrm {am} (x)\). Je me borne ici à la question de la résolution par radicaux ; plus tard je ferai, au même point de vue, l’étude des équations modulaires, et je montrerai comment les théorèmes de Mr. Puiseux conduisent à effectuer l’abaissement de ces équations dans les cas annotés par Galois, dont les principes serviront d’ailleurs de base à tout ce que nous allons dire.

  13. 13.

    Mr. Puiseux a non seulement ajouté de nouveaux développements et des perfectionnements nouveaux à la théorie des intégrales curvilignes des fonctions algébriques, mais, de plus, il a mis en évidence, avec beaucoup de sagacité, les lois suivant lesquelles les diverses valeurs d’une fonction algébrique se trouvent échangées entre elles quand la courbe qui dirige l’intégration tourne autour de l’un des points qu’il nomme points principaux; enfin, il est parvenu à déterminer généralement le nombre de valeurs distinctes et le nombre de périodes de certaines intégrales curvilignes, qui sont relatives à une classe très étendue de fonctions algébriques, et qui comprennent comme cas particuliers les intégrales elliptiques et abéliennes.

  14. 14.

    Joseph Bertrand (1822–1900) taught mathematics and physics at Lycée Saint-Louis, École Polytechnique, École Normale Supérieure and then Collège de France. His name is attached to the “Bertrand series” in analysis and to the “Bertrand postulate” in number theory. He became member of the Académie des Sciences, in 1856, as the successor of Charles Sturm. He was the secretary (“secrétaire perpétuel”) of the mathematical section of the Academy from 1874 until his death, after which Darboux became the secretary. This explains the fact that Bertrand wrote several eulogies. Bertrand was also the brother-in-law of Hermite. Appell’s wife was a niece of Bertrand and of Hermite and a cousin of Émile Picard.

  15. 15.

    Charles-François Sturm (1803–1855) whose name is associated with the Sturm-Liouville principle on linear order-two differential equations with a parameter, was one of Puiseux’s teachers at the Collège Rollin in Paris, which Puiseux enrolled in 1834.

  16. 16.

    Ch. Sturm, notre maître bienveillant à tous, mais fier surtout de son élève du collège Rollin, m’aborda un jour par cette question que personne avant Puiseux ne s’était proposée: “Si vous suivez le long d’un contour fermé la racine d’une équation dont un paramètre représente un point du contour, qu’obtiendrez-vous en revenant au point de départ ?”—“Je retrouverai ma racine, répondis-je sans hésiter.”—“Eh bien, non ! vous ne la retrouverez pas: ce Puiseux le démontre. Il a fait un bien beau Mémoire !”.

  17. 17.

    One should remember though that the topological notions that appear in Cauchy’s work (paths, homotopy, etc.) were still not rigorously defined, and that part of this theory was based on intuitive grounds. One of the earliest rigorous definitions of a path is contained in the much later Jordan’s Cours d’Analyse de l’École Polytechnique, in three volumes, written between 1882 and 1887 (cf. [38], 2nd. edition, vol. 1, p. 90).

  18. 18.

    Klein writes in a footnote: “In the text I refrained from mentioning Gauss, who being in advance of his time in this and in other fields, anticipated many discoveries without publishing what he had found. It is very remarkable that in the papers of Gauss we find occasional glimpses of methods in the theory of functions which are completely in line with the later methods of Riemann, as if unconsciously a transfer of leading ideas has taken place from the older to the younger mathematician.”

  19. 19.

    Lagrange defined complex functions using power series, but for him the notion of convergence was a secondary issue.

  20. 20.

    Weierstrass, at that time was working in isolation, as a high-school teacher.

  21. 21.

    In one of his writings, quoted by Bertrand [4] p. 187, Cauchy says: “If I know something, it is only through the care of my father.” [Si je sais quelque chose, c’est uniquement à cause des soins que mon père a pris de moi.

  22. 22.

    Picard, in his historical survey [52] (p. 15) describes this epoch, saying that one must not profess opinions which are too much systematic, on this parallel between pure theory and applications, like, he says, Laplace, Fourier, Poisson and the brilliant French school of mathematical physics of the beginning of the nineteenth century. “For them, he says, pure analysis was only the instrument, and Fourier, when he announced to the Academy of sciences the works of Jacobi, said that natural philosophy must be the main object of meditation of geometers.” Picard says that such an exclusiveness would mean ignoring the philosophical and artistic value of mathematics.

  23. 23.

    Les fonctions de professeur ne lui offraient pas seulement la satisfaction de ce sentiment d’expansion généreuse qui le portait à se mettre en communication intime avec les jeunes gens des écoles qu’il aimait, qu’il admettait dans son cabinet de travail comme dans son salon, avec lesquels il s’entretenait familièrement en ami plutôt qu’en maître.

  24. 24.

    The first definition of a continuous function of two variables, in the sense we intend it today, using a Euclidean norm on the plane, was given by Darboux in 1872, [28].

  25. 25.

    Cauchy’s Exercices d’Analyse et de Physique Mathématique, Tome I, p. 29.

  26. 26.

    For instance, Riemann “proved” in a course he gave on complex variables that if a series of functions is convergent, then one can integrate it term by term; cf. [27] p. 13, where Riemann’s proof is analyzed.

  27. 27.

    On peut dire que l’erreur est quelquefois utile, et que, dans les époques vraiment créatrices, une vérité incomplète ou approchée peut être plus féconde que la vérité même accompagnée des restrictions nécessaires.

  28. 28.

    The subject of the competition was: “The determination of the number of primes smaller than a given quantity” (which is the title of Riemann’s article [61]), but in the comments following the problem, it was asked to fill the gaps in Riemann’s work on the zeta function. The subject of the contest was chosen by Hermite, with his friend Stieltjes in mind, who had announced in 1885 a proof of the Riemann hypothesis. In the meantime Stieltjes withdrew his “proof,” and the prize went to Hadamard [34]. See the details of this story in [46], and also in Chap. 8 of the present volume [49]. Hadamard’s contribution followed from the work he did in his thesis, Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor (Essay on the study of the functions given by their Taylor expansion), devoted to complex function theory and written under Émile Picard and Jules Tannery.

  29. 29.

    Cauchy à Cherbourg réservait des heures réglées pour l’étude de Lagrange et de Laplace; mais les idées originales et nouvelles le troublaient à toute heure. Après avoir usurpé sur son sommeil, les formules le poursuivaient sur les chantiers.

  30. 30.

    Cauchy had rigorous definitions of limit and continuity, although, in some sense, it is difficult to have such rigorous definitions without a rigorous development of the notion of real number, which was done much later.

  31. 31.

    [...] Ainsi, avant d’effectuer la sommation d’acucune série, j’ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être sommées, ou, en d’autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence; et j’ai, à ce sujet, établi des règles générales qui me paraissent mériter quelque attention.

  32. 32.

    On this subject, besides Cauchy, one has to mention the work of Bolzano, done around the same period.

  33. 33.

    The Greek roots of the French word “monogène” used by Cauchy reflect the fact that this function has a unique derivative. The Greek word “monogenes” has a theological connotation. It is used in the Septuagint translation of the Bible (Hebrews 11–17), for Isaac as Abraham’s “only begotten son” and in the Gospel of John (20–31) for Jesus as the “only begotten son” of God.

  34. 34.

    It is interesting to note that in his doctoral dissertation, Riemann in the definition of a function of a complex variable the fact of having a derivative independent of direction. The fact that every complex function satisfies the Cauchy–Riemann equations becomes a theorem. Cf. § 4 of Riemann’s dissertation.

  35. 35.

    The Cauchy–Riemann equations are, in themselves, much older than Cauchy and Riemann. They already occur in d’Alembert’s works on fluid dynamics, Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris, 1752. Klein, in his Development of mathematics in the 19th century ([42] p. 239) writes that “perhaps they occur even earlier.”

  36. 36.

    There is a long French tradition of Cours d’Analyse for the students of the École Polytechnique. One may mention Lagrange’s Cours whose complete title is Théorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d’infiniment petits ou d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits à l’analyse algébrique des quantités finies (Theory of analytic functions containing the principles of differential calculus, without any consideration of infinitesimal or vanishing quantities, of limits or of fluxions, and reduced to the algebraic analysis of finite quantities), written in 1797, three years after the foundation of the École. Cauchy started to teach his course two years after Lagrange’s death. One should also mention the Résumé des leçons données à l’École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal (Summary of lectures on infinitesimal calculus given at the École Royale Polytechnique) (1823), a treatise which Cauchy wrote for the use of his students, after he modified his lectures because of a change in the official program. One may also mention the Résumé des cours d’analyse by Charles Hermite, in two parts (1867–1868 and 1868–1869), the Cours d’analyse de l’École Polytechnique by Charles Sturm, the Cours d’Analyse by Jacques Hadamard, the more recent Cours d’analyse by Laurent Schwartz (1967), and there are several others.

  37. 37.

    In his Éloge of Cauchy, Bertrand writes ([4] p. 114) about the Exercices: No mathematical publication, with whatever excellency and number of collaborators, may compete with the eight volumes of the Exercices. Avidly expected in their novelty, they are nowadays classical among the masters. No page of the Exercices is unknown to any geometer. When Cauchy had to refer to himself, he gladly referred to himself as the author of the Exercices. This title was sufficient. If some geometer today dared to publish an Exercices de mathématiques, we would be surprised by such a boldness, in the same way, and I am not exaggerating at all, as if a poet, whose name is not Lamartine or Victor Hugo, had dared to publish some Orientales or Méditations poétiques [Aucune publication mathématique, quelle que fût l’excellence et le nombre de ses collaborateurs, ne pourrait rivaliser avec les huit volumes des Excercices. Avidement attendus dans leur nouveauté, ils sont aujourd’hui classiques parmi les maîtres ; aucune page des Excercices n’est inconnue à aucun géomètre. Lorsque Cauchy avait à se citer lui-même, il se nommait volontiers: l’auteur des Exercices. Ce titre suffisait. Si un géomètre osait aujourd’hui publier des Exercices de mathématiques, on s’étonnerait d’une telle audace, tout autant, je n’exagère rien, que si un poète, sans se nommer Lamartine ou Victor Hugo, osait publier des Orientales ou des Méditations poétiques]. We note that the name Exercices for a publication was already used by Legendre, who published a famous multi-volume Exercices de calcul intégral (1811–1817) [43], a treatise whose main subject is elliptic integrals and their applications to geometry and analysis, which incidentally was one of the favorite subjects of research of Riemann.

  38. 38.

    Le génie de Cauchy est digne de tous nos respects; mais pourquoi d’abstenir de rappeler que la trop grande abondance de ses travaux, en diminuant souvent leur précision, en a plus d’une fois caché la force ? La dangereuse facilité d’une publicité immédiate a été pour Cauchy une tentation irrésistible et souvent un écueil. Son esprit, toujours en mouvement, apportait chaque semaine à l’Académie des travaux à peine ébauchés, des projets de Mémoire et des tentatives parfois infructueuses, et lors même qu’une brillante découverte devrait couronner ses efforts, il forçait le lecteur à le suivre dans les voies souvent stériles essayées et abandonnées tour à tour sans que rien vint l’en avertir. Prenons pour exemple la théorie des substitutions et du nombre de valeurs d’une fonction. À qui doit-elle ses plus grands progrès ? à Cauchy sans aucun doute, et il est véritable que son nom, dans l’histoire de la belle question, s’élève à une grande hauteur au-dessus de tous les autres. Mais, sur cette théorie qui lui doit tant, Cauchy a composé plus de vingt mémoires. Deux d’entre eux sont des chefs d’œuvre. Que dire des dix-huit autres ? rien, sinon que le lecteur y cherche une voie nouvelle, la suit quelque temps, entrevoit la lumière, s’efforce inutilement de l’atteindre et quitte enfin, sans marquer aucun embarras, les avenues de l’édifice qu’il renonce à construire.

  39. 39.

    Il explorait des régions nouvelles, on savait à quelle hauteur : nul n’en pouvait deviner l’étendue, la consistance et l’inépuisable fécondité.

  40. 40.

    Riemann adds that it was Dirichlet who showed Cauchy’s mistake.

  41. 41.

    The year should be 1851.

  42. 42.

    Le mémoire de Puiseux sur les fonctions algébriques, publié en 1854, a ouvert le champ de recherches qui a conduit aux grandes découvertes mathématiques de notre époque. Ces découvertes ont donné à la science du calcul des principes nécessaires et féconds qui, jusqu’alors, lui avaient manqué; elles ont remplacé la notion de fonction, restée obscure et incomplète, par une conception précise qui a transformé l’analyse en lui donnant de nouvelles bases. Puiseux a le premier mis en lumière l’insuffisance et le défaut de ce point de vue où l’on se représente, à l’image des polynômes et des fractions rationnelles, les irrationnelles algébriques et toutes les quantités en nombre infini qui ont leur origine dans le calcul intégral. En suivant la voie de Cauchy, en considérant la succession des valeurs imaginaires, les chemins décrits simultanément par la variable et les racines d’une équation, l’éminent géomètre a fait connaître, dans ses caractères essentiels, leur nature analytique. Il a découvert le rôle des points critiques, et les circonstances de l’échange des valeurs initiales des racines, lorsque la variable revient à son point de départ, en décrivant un contour fermé comprenant un ou plusieurs de ces points. Il a poursuivi les conséquences de ces résultats dans l’étude des intégrales de différentielles algébriques. Il a reconnu que les divers chemins d’intégration donnent naissance à des déterminations multiples, ce qui l’a conduit à l’origine, jusqu’alors restée entièrement cachée, de la périodicité des fonctions circulaires, des fonctions elliptiques, des transcendantes à plusieurs variables définies par Jacobi comme fonctions inverses des intégrales hyperelliptiques.

  43. 43.

    Soit y une fonction analytique de x, non uniforme. On peut toujours trouver une variable z telle que x et y soient fonctions uniformes de z.

  44. 44.

    [Hilbert’s footnote:] Bull. Soc. Math. de France, vol. 11 (1883).

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Acknowledgements

I would like to thank Vincent Alberge, Ken’ichi Ohshika and François Laudenbach for their comments on a preliminary version of this chapter.

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Authors and Affiliations

  1. Institut de Recherche Mathématique Avancée, CNRS et Université de Strasbourg, 7 rue René Descartes, 67084, Strasbourg Cedex, France

    Athanase Papadopoulos

  2. Mathematics Department, Brown University, 151 Thayer Street, Providence, RI, 02912, USA

    Athanase Papadopoulos

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  1. Athanase Papadopoulos
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Correspondence to Athanase Papadopoulos .

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Editors and Affiliations

  1. Department of Mathematics, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, USA

    Lizhen Ji

  2. University of Strasbourg, CNRS, Institut de Recherche Mathématique Avancée, Strasbourg Cedex, France

    Athanase Papadopoulos

  3. Department of Mathematics, Gakushuin University, Tokyo, Japan

    Sumio Yamada

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Papadopoulos, A. (2017). Cauchy and Puiseux: Two Precursors of Riemann. In: Ji, L., Papadopoulos, A., Yamada, S. (eds) From Riemann to Differential Geometry and Relativity. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-60039-0_7

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