Zusammenfassung
Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde einerseits entwickelt als ein Instrument zur Untersuchung unserer Welt und half bei der Erzeugung vieler Durchbrüche insbesondere in der Physik und der Biologie. Andererseits spielte die Wahrscheinlichkeitstheorie eine wesentliche Rolle beim Entwurf und bei der Entwicklung von technischen Systemen. Die Zielsetzung dieses Kapitels ist es, drei eindrucksvolle Beispiele zu zeigen, die die Stärke von Wahrscheinlichkeitskonzepten in der Biologie, der Kryptographie und beim Algorithmenentwurf belegen. In der Populationsgenetik zeigen wir, wie man Naturgesetze mittels Wahrscheinlichkeitsrechnungen entdecken, erklären und begründen kann. In der Algorithmik zeigen wir, wie man mit Hilfe von Zufallsentscheidungen exponentiell viel Arbeit sparen kann. In der Kryptographie zeigen wir, wie Wahrscheinlichkeitsüberlegungen zum Entwurf eines pfiffigen Kryptosystems führen können und wie tiefgreifendere statistische Konzepte bei der Kryptoanalyse dieses Kryptosystems zum Durchbruch führen können.
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- 1.
Biologisch gesehen ist auch dieses Modell noch eine Vereinfachung, weil bei der zufälligen Auswahl der beiden Elternteile deren Geschlecht nicht berücksichtigt wird. So wäre dieses Modell aber für Hermaphroditen (zum Beispiel Weinbergschnecken) anwendbar.
- 2.
Bemerke, dass wir absichtlich die neue Bezeichnung \(\mathop{\mathrm{Prob}}\) für die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Allele gewählt haben, um sie von der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Genotypen zu unterscheiden.
- 3.
Erinnere dich daran, dass \(m_{\text{AA},k+1}=P_{k+1}(\text{AA})\cdot m\) und \(m_{\text{A}\alpha,k+1}=P_{k+1}(\text{A}\alpha)\cdot m\) gelten.
- 4.
Der Algorithmus selber produziert keine zufälligen Bits. Diese müssen ihm von außen zur Verfügung gestellt werden.
- 5.
Als deterministisch bezeichnen wir klassische Algorithmen, die für jede Eingabe eine eindeutig gegebene Berechnung durchführen.
- 6.
Für eine reelle Zahl m ist \(\lceil m\rceil\) die kleinste natürliche Zahl, die mindestens m ist. Zum Beispiel ist \(\lceil 2.6\rceil=3\).
- 7.
Wenn eines der k Resultate „≠“ ist, dann wissen wir mit Sicherheit, dass X ≠ Y gilt. Einen Fehler kann man nur machen, wenn man k Mal das Resultat „=“ erhalten hat, obwohl X ≠ Y gilt.
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Barot, M. (2017). Anwendungen in Biologie, Kryptologie und Algorithmik. In: Stochastik. Grundstudium Mathematik. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-57595-7_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-57595-7_4
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Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-319-57594-0
Online ISBN: 978-3-319-57595-7
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