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Grundlegende Theorie

  • Jürgen Scheurle
Chapter
Part of the Mathematik Kompakt book series (MAKO)

Zusammenfassung

In Kapitel 3 widmen wir uns Fragen der Existenz, Eindeutigkeit und Glattheit von Lösungen des AWPs
$$\begin{aligned}\displaystyle\dot{x}&\displaystyle=\Psi(t,x),\quad(t,x)\in U\\ \displaystyle x(t_{0})&\displaystyle=x_{0}.\end{aligned}$$
Dabei ist U eine offene Teilmenge des \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\), \(n\in\mathbb{N}\), mit \((t_{0},x_{0})\in U\). Im Einzelnen geht es um folgende Fragen:
  • Unter welchen, möglichst allgemeinen Voraussetzungen an \(\Psi:U\to\mathbb{R}^{n}\) existiert eine Lösung \(x=\varphi(t;t_{0},x_{0})\) für t hinreichend nahe bei t 0 (lokale Existenz)?

  • Ist diese eindeutig bestimmt?

  • Wie glatt ist eine solche Lösung in Abhängigkeit von ihren Argumenten sowie gegebenenfalls von zusätzlichen Parametern in Ψ?

  • Wie weit lässt sie bzw. die zugehörige Integralkurve \(\mathop{\mathrm{graph}}(\varphi)\) sich innerhalb von U fortsetzen?

Wir formulieren und beweisen dazu sehr sorgfältig die wichtigsten Sätze der klassischen Theorie, insbesondere eine lokale sowie eine globale Version des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf. Auch der Existenzsatz von Peano wird formuliert. Das Kapitel endet mit einigen Ergänzungen zum Konzept des Phasenflusses. Unter anderem beweisen wir noch je einen Begradigungssatz für die Integralkurven bzw. Orbits von nicht-autonomen und autonomen GDGn obigen Typs. Dies führt auf lokale Normalformen für derartige GDGn.

Copyright information

© Springer International Publishing AG 2017

Authors and Affiliations

  • Jürgen Scheurle
    • 1
  1. 1.Fakultät für MathematikTU MünchenGarching b. MünchenDeutschland

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