Zusammenfassung
Wir beginnen mit einer allgemeinen Beobachtung. Wir sagen, daß eine Formel \(\varphi=\varphi(\bar{x})\) logisch aus T folgt, wenn \(\forall\bar{x}\,\varphi\) in allen Modellen von T gilt (vergleiche die Definition in Kap. 4.)
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Notes
- 1.
Das erweiterte Axiomensystem ist allerdings nicht mehr rekursiv, sondern nur noch rekursiv aufzählbar.
- 2.
Diese Notation ist dem Artikel [24] entnommen. Solovay betrachtet modallogische Formeln \(f=f(p_{1},\ldots,p_{n})\). Das sind Formeln, die sich aus den Aussagenvariablen p i mit \(\neg\,\), \(\land\) und \(\Box\,\) aufbauen. Wir schreiben \(\vdash f\), wenn \(\mathrm{P}\;\vdash\;f(\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n})\) für alle L N -Aussagen \(\varphi_{i}\). Das Hauptresultat von [24] besagt, daß \(\vdash f\) genau dann, wenn fsich mit den Regeln
-
\(\vdash f\;,\;\vdash f\to g\;\Longrightarrow\;\vdash g\)
-
\(\vdash f\;\Longrightarrow\;\vdash\Box\,f\)
aus Tautologien und den Axiomen
-
\(\vdash\Box\,f\land\Box\,(f\to g)\to\Box\,g\)
-
\(\vdash\Box\,f\to\Box\,\Box\,f\)
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\(\vdash\Box\,(\Box\,f\to f)\to\Box\,f\)
herleiten läßt. Das letzte Axiomenschema ist der Loebsche Satz.
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Ziegler, M. (2017). Der Zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz. In: Mathematische Logik. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-44180-1_20
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-44180-1_20
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Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-319-44179-5
Online ISBN: 978-3-319-44180-1
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