Metamathematik von ZFC

Zusammenfassung

Wir ordnen jeder $L_{M\!e}$-Formel ψ eine Konstante $\ulcorner\psi\urcorner$ in einer definitorischen Erweiterung von ZFC zu (siehe Satz 8.0.14). Zunächst ordnen wir allen Zeichen einen Term zu:

$$\begin{aligned}\displaystyle\ulcorner\doteq\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{0})\\ \displaystyle\ulcorner\land\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{1})\\ \displaystyle\ulcorner\neg\,\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{2})\\ \displaystyle\ulcorner(\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{3})\\ \displaystyle\ulcorner)\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{4})\\ \displaystyle\ulcorner\exists\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{5})\\ \displaystyle\ulcorner\mathrel{\epsilon}\urcorner&\displaystyle=(\underline{0},\underline{6})\\ \displaystyle\ulcorner v_{0}\urcorner&\displaystyle=(\underline{1},\underline{0})\\ \displaystyle\ulcorner v_{1}\urcorner&\displaystyle=(\underline{1},\underline{1})\\ \displaystyle\ldots&\displaystyle=\ldots\end{aligned}$$

Für eine Formel $\psi=\zeta_{0}\,\zeta_{1}\ldots\zeta_{n-1}$ der Länge n setzen wir

$$\displaystyle\ulcorner\psi\urcorner=\bigl\{(\underline{0},\ulcorner\zeta_{0}\urcorner),\ldots,(\underline{n\!-\!1},\ulcorner\zeta_{n-1}\urcorner)\bigr\}.$$

Die Notation wird nur in diesem Kapitel verwendet. In Kap. 15 ordnen wir Formeln ψ einer beliebigen endlichen Sprache eine natürliche Zahl zu, die Gödelnummer von ψ, die wir wieder mit $\ulcorner\psi\urcorner$ bezeichnen. Man beachte, daß alle $\ulcorner\varphi\urcorner$ erblich endlich sind (siehe Kap. 10).