The French ‘Analysts’ and Peano’s Mathematical Logic: Couturat’s Remarques to Borel, Baire and Lebesgue

Luciano, Erika

doi:10.1007/978-3-319-40082-2_7

Erika Luciano⁵

Part of the book series: Trends in the History of Science ((TRENDSHISTORYSCIENCE))

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1 Citations

Abstract

The historiographical categories ‘School of Peano’ and ‘Italian Mathematical Logic’ will be discussed, before illustrating the logical and foundational contributions by the Peanians included in the collective work Formulario di Matematica.

This research was performed as part of the Project PRIN 2009 Scuole Matematiche e Identità Nazionale nell’età moderna e contemporanea, Unity of Turin University.

RMM: Revue de Métaphysique et de Morale

FBP: Fonds Émile Borel, Archives de l’Académie des Sciences, Paris

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Notes

1.
Cf. Schröder (1897, p. 154), Couturat (1900, p. 400–401), Moore (1903, p. 402–405), Pierpont (1904, p. 147), Wilson (1904, p. 76, 78, 93), Shearman (1906, p. 200), Klein (1909, p. 484), Jourdain (1912a, p. 287, 288, 289, 295, 303, 304, 311, 313).
2.
Peano (1895aa, 1899b, 1901b, 1903f, 1908a). All the published and unpublished works by Peano are now available in Roero (2008a) (ed.). Peano’s papers are quoted according to the classification in this DVD. On the history of the Formulario cf. Lolli (1985, p. 49–83), Grattan-Guinness (2000, p. 219–267), Luciano (2008b, p. 65–81), Roero (2011, p. 83–132).
3.
G. Peano to F. Klein, 29.8.1894, in Luciano and Roero (2012, p. 169–170).
4.
Cf. Vailati (1904k, p. 127–128).
5.
These experiences of vulgarization of mathematical logic are illustrated in Luciano (2010, p. 279–315).
6.
Paraf (1885, p. 170, 172).
7.
Cf. C. Hermite to A. Genocchi, 31.10.1884, in Michelacci (2005, p. 180–181).
8.
J. Tannery (1887, p. 237–239).
9.
Cf. Gispert (1983, p. 46–47, 55, 61–62, 64–65, 69, 79–80), Gandon and Perrin (2009, p. 665–704, 2009, p. 415–430), Perrin (2010, p. 317–326).
10.
Cf. Medvedev (1983, p. 112–117).
11.
Cf. Luciano (2008a, vol. II, p. 67–68, 68, 69, 70, 77, 87–88, 95–96).
12.
Somigliana (1911, p. 21). Similar appraisals arrived from P. Mansion , F. Gomes Teixeira , Z. García de Galdeano and J. Tannery : cf. P. Mansion, Lezioni di analisi infinitesimale del Prof. G. Peano, Mathesis, 2, IV, 1894, p. 192–193; [F. Gomes Teixeira], G. Peano: Lezioni di Analisi infinitesimale, Torino, 1893, Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas, XII, 1894, p. 11–12; [Zoel García de Galdeano], G. Peano: Lezioni di Analisi infinitesimale …, El Progreso Matemático, III, 1893, p. 319–320.
13.
Cf. for example G. Peano to C. Jordan , 6.11.1894, in Borgato (1991, p. 95–96).
14.
Peano (1896b, p. 85–86).
15.
Cf. G. Peano, Programma di Calcolo infinitesimale per l’anno 1902–03, Historical Archive of the University of Turin; Peano (1898, 1902–03G, 1904d).
16.
Cf. G. Peano to G. Vacca, 15.11.1906, in Osimo (1992), letter 90.
17.
Peano (1904d, p. 72).
18.
Cf. for example G. Peano to E. Catalan , 25.1.1892, in E. Jongmans, Quelques pièces choisies dans la correspondance d’Eugène Catalan, Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, 50, 9–10, 1981, p. 307–308: “When these theories are well developed, they may substitute partially or entirely the traditional teaching. But we must not, however, exaggerate, and assume that one can straight away explain these definitions and theorems in school, in the current form as published. They will turn out to be simply incomprehensible”.
19.
G. Peano to G. Vacca , 8.11.1897 and 28.12.1902 in Osimo (1992), letters 7 and 40. Despite the trust of Peano, and notwithstanding the presence of some enthusiastic witnesses, it cannot be denied that many criticisms arrived from his colleagues, and the students themselves were most unhappy at having to learn a formal language which (however patient and careful the relevant explanations might be) would prove of no further use or application in other teachings.
20.
Peano (1894h, p. 222–226).
21.
G. Peano to C. Méray , 25.7.1900, in Luciano and Roero (2005, p. 204). Analogous statements in G. Peano to C. Jordan , 6.11.1894 in Borgato (1991, p. 95–97); G. Peano to L. Couturat , 1.6.1899, in Luciano and Roero (2005, p. 18–21); G. Peano to R. Montessus de Ballore , 3.10.1896, 16.5.1897, 5.8.1897, in Le Ferrand (2012, p. 9–10).
22.
Cf. Couturat (1904, p. 1042) and, in the Peano-Vacca Archive (preserved in the Library of the Department of Mathematics, University of Turin) the manuscripts by G. Vacca, Logica Matematica, 1939, f. 1r; Logica Matematica, 1939a, f. 1r; La Logica Matematica negli ultimi cinquant’anni, 1939b, f. 1; Nel Congresso Internazionale di Filosofia a Parigi 1900, [post 1939], f. 1r.
23.
Borel (1897 p. 787).
24.
On Couturat’s biography and cultural activities cf. Schnippenkötter (1910, p. 447–468), Lalande (1914, p. 644–688), Dassen (1934, p. 136–143, 1939, p. 73–204); Loi (1976, p. 683–699); Schlaudt and Sakhri (2010); Luciano (2012, p. 41–64); Luciano and Roero (2005, p. VI-XXIV). From 1900 onwards, Peano and Couturat actively engaged in promoting the international language, advocating two different projects: Peano, the so-called Latino sine flexione, and Couturat, a form of artificial language derived from Esperanto and called Ido. The French philosopher however, employed increasingly dogmatic tones, proving intransigent in the dissemination of this project. This attitude caused rifts and disagreements with Peano, until they completely ceased all contact in the winter of 1910.
25.
Couturat (1899, p. 636, 643).
26.
Couturat (1899, p. 628–630).
27.
G. Peano to L. Couturat , 1.6.1899, in Luciano and Roero (2005, p. 19).
28.
Ibidem.
29.
L. Couturat to G. Peano, 4.6.1899, in Luciano and Roero (2005, p. 23).
30.
On the events behind the writing of this article see Roero (2009–2011, p. 169–184).
31.
Vailati (1899b, p. 100, 102).
32.
In the third volume of the Congress Proceedings, entitled Logique et histoire des sciences, Paris, A. Colin, 1901 the following articles appear: g. Peano, Les définitions mathématiques, p. 279–288; C. Burali–Forti, Sur les différentes méthodes logiques pour la définition du nombre réel, p. 288–308; A. Padoa, Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d’une introduction logique à une théorie déductive quelconque, p. 309–365; M. Pieri, Sur la Géométrie envisagée comme un système purement logique, p. 367–404.
33.
Couturat (1900, p. 401).
34.
L. Couturat to G. Peano, 1.10.1899, in Luciano and Roero (2005, p. 31).
35.
Couturat (1901, p. 141–159). Couturat had published an anonymous review of the second edition of the Formulario in the 1899 issue of the Revue de Métaphysique et de Morale (RMM, VII, Supplément p. 5–6). He also appears to have analysed the last edition of the Formulario Mathematico, in another anonymous review, which was published in the 1906 issue of the same journal (RMM, XIV, Supplément Mai 1906, p. 11).
36.
Couturat (1901, p. 141, 149, 159).
37.
L. Couturat to G. Peano , 6.12.1903, in Luciano and Roero (2005, p. 54).
38.
L. Couturat to G. Peano , 6.12.1903, in Luciano and Roero (2005, p. 54).
39.
Boutroux (1904, p. 909–920).
40.
Couturat (1904, p. 1046).
41.
Couturat (1904, p. 1037–1077).
42.
L. Couturat to G. Peano , 2.10.1904, in Luciano and Roero (2005, p. 77). Hence, from this date onwards, there were many complaints in the correspondence between Couturat and Peano regarding Boutroux , Poincaré , Hadamard , Laurent , Borel , who did not know the topic of Logic indepth and yet criticized it, “speaking of what they ignore”. Cf. L. Couturat to G. Peano , 22.9.1904, 8.11.1904, 5.1.1905, 18.7.1905, 2.8.1905, 21.11.1905, 15.3.1906, 17.1.1906, 3.5.1906, 14.6.1907, in Luciano and Roero (2005, p. 75, 77–78, 79, 85, 89–90, 93, 98, 101–102, 106–107, 132).
43.
Cf. P. Boutroux to G. Peano , 21.11.1904 and G. Peano to P. Boutroux , [November–December 1904] in Luciano and Roero (2005, p. 218–219, 219–220).
44.
Boutroux (1905, p. 620–637).
45.
On this debate cf. Jourdain (1912b, p. 481–483), Sanzo (1975, p. 369–418), ENS (1983, p. 97–111), Heinzmann (1986), Luciano and Roero (2005, p. XXIX–LX).
46.
Poincaré (1906b, p. 295). Regarding the hostility to Peano ’s ideography cf. also Poincaré (1903, p. 5) and L. Couturat to G. Peano, 15.3.1906 and 3.5.1906, in Luciano and Roero (2005, p. 101, 107).
47.
Poincaré (1905a, p. 825).
48.
Hadamard (1906, p. 161–162).
49.
Richard (1906, p. 957–958). As far as Richard ’s appreciation of Peano ’s logical language is concerned cf. also Richard (1935, p. 18, 20).
50.
Russell (1906, p. 628).
51.
Borel (1907, p. 282).
52.
Winter (1907, p. 192–193, 195–196).
53.
Cf. Boutroux (1913, p. 181).
54.
Cf. Couturat (1913, p. 260).
55.
On the history of Borel’s Collection cf. Erhardt (2011, p. 111–139).
56.
Borel (1905), Baire (1905).
57.
Couturat (1905c, p. 6). Couturat’s review focused mainly on Baires ’ text. In fact, as Borel had announced beforehand to Couturat , it was from Leçons sur les fonctions discontinues that he drew the greatest food for thought, both because it was simpler than Borel ’s book, and because it provided the necessary conceptual tools for a full understanding of some sections of Borel ’s own text.
58.
See in particular Couturat’s reviews of G. Peano , G. Cantor , P. Poretsky , E. Schröder works, published anonymously in the Revue de Métaphysique et de Morale. Cf. in RMM: Suppl. Janvier 1899, p. 5–6; Suppl. Novembre 1899, p. 4; XIV, Suppl. Mai 1906, p. 10.
59.
Couturat (1905c, p. 6); Attachment from L. Couturat to E. Borel , 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 3.
60.
See in particular the proof of Baire ’s theorem (1905, p. 67–98): “the necessary and sufficient condition for such a function be the limit of continuous functions is that it is punctually discontinue on any perfect set”.
61.
Cf. Baire (1905, p. 121–124), Borel (1905, p. 4).
62.
Couturat (1905c, p. 6); Attachment from L. Couturat to E. Borel, 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 4.
63.
Attachment from L. Couturat to E. Borel , 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 5.
64.
L. Couturat to E. Borel , 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 1: “Comme je le dis à Baire, à propos de sa note de la p. 121, Russell a bien mis en lumière ce fait que la Mathématique pure repose sur la notion d’ordre, sur les relations “ordinales” des nombres, et par suite sur la Logique des relations, puisque tout ordre se définit au moyen de relations. Autant j’ai été contrarié de voir un mathématicien comme Boutroux combattre cette doctrine qui me semble conforme à l’esprit des mathématiques modernes, autant j’ai été heureux de trouver chez Baire une confirmation, sur un détail précis et important, comme la définition de la limite”.
65.
Attachment from L. Couturat to E. Borel , 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 5: “Les deux auteurs ont employé, sans le savoir, presque toutes les notions fondamentales de la Logique mathématique de Peano”.
66.
Attachment from L. Couturat to E. Borel , 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 5: “La relation d’inclusion entre deux ensembles, que M. Baire (p. 16) figure par le signe ≤, Schröder par le signe €, et M. Peano par le signe ⊃. L’addition logique, que M. Borel (p. 17) figure par + (comme Schröder ), et M. Peano par le signe ∪. Pour une somme infinie, M. Baire emploie le signe ∑; M. Peano , le signe ∪’. La multiplication logique, que M. Borel figure par le signe ( , ) (p. 19) et M. Peano par le signe ∩. Pour un produit infini, M. Baire emploie le symbole: D(P₁, P₂, …), qu’il appelle (comme M. Dedekind) plus grand commun diviseur des ensembles P₁, P₂, P₃, …. Ailleurs (p. 100), il appelle le produit logique: ensemble commun. Pour un produit infini (ou simplement indéfini), (p. 105) parle de la portion de P déterminée par ∑; c’est le produit logique de P par ∑. Le zero logique (la classe nulle): M. Baire le représente par = 0 (p. 15) comme le zero arithmétique. M. Peano le figure par Λ. En outre, M. Baire (loc. cit.) emploie la locution: “P est nul dans l’intervalle ab”. Il veut dire: “P∩ab = Λ”: le produit logique de P et de ab est nul. […]”.
67.
L. Couturat to E. Borel, 13.12.1904, FBP, ms. 053, p. 2: “Je souhaite que mes articles et mes “Remarques” attirent ton attention sur les théories de Logique mathématique (de Logistique) de Peano et cie. […] Mais c’est le système Peano qui est le plus intéressant pour la Logique des mathématiques”.
68.
H. Lebesgue to E. Borel, 17.12.1904, in Bru and Dugac (2004, p. 98).
69.
R. Baire to E. Borel, 15.12.1904, in Dugac (1990, p. 80–81).
70.
R. Baire to E. Borel, 15.12.1904, in Dugac (1990, p. 80).
71.
Cf. Dugac (1976, p. 305, 318–329, 341–363, 1990, p. 33–48, 93, 95–96).
72.
L. Couturat to E. Borel, 16.12.1904, FBP, ms. 054, p. 1–4; L. Couturat to E. Borel, 19.12.1904, FBP, ms. 054, p. 1r-2v.
73.
L. Couturat to E. Borel, 19.12.1904, FBP, ms. 055, p. 1.
74.
L. Couturat to E. Borel, 19.12.1904, FBP, ms. 055, p. 1–2: “Je vous dis simplement ceci: Vous savez, vous employez certains concepts que les logiciens (qui étaient aussi des mathématiciens non méprisables: Boole, Schröder, Peano ) manient depuis 50 ans; ils les désignent autrement. Ne serait-il pas bon de vous entendre avec eux sur le vocabulaire et les notations? C’est ce qui arrive tous les jours dans les domaines entre diverses sciences, ou des chercheurs venus de côtés opposés se rencontrent souvent sans le savoir”.
75.
L. Couturat to E. Borel , 19.12.1904, FBP, ms. 055, p. 1: “en alignant des mots on peut prouver quelque chose, car les mots signifient des idées et des jugements, et toute deduction consiste dans des liaisons d'idées et de jugements. Les mathématiciens se font tort, ainsi qu’à leur science, en prétendant ne faire qu’aligner des mots.Vous parlez de convention de langage mais un langage signifie quelque chose, que diable!”.
76.
L. Couturat to E. Borel , 16.12.1904, FBP, ms. 054, p. 2: “signaller quelques expressions et notations de Logique, et vous demander s’il ne conviendrait pas de les employer au lieu des locutions et des signes que vous empruntez à d’autres branches de la science, en vertu d’analogies réelles, mais qui peuvent tromper le lecteur. Au lieu d’employer, par exemple, le signe + pour la somme logique, il n’en coûterait pas plus d’employer le signe de Peano, puisque de toute façon vous êtes obligés de définir le signe + dans son nouvel emploi”.
77.
L. Couturat to E. Borel , 16.12.1904, FBP, ms. 054, p. 2. The title of “applied mathematicians”, given to Borel, Baire and Lebesgue by Couturat, has a precise meaning. Just as Peano claimed to construct ideography purely for its usefulness (i.e. its applications to mathematics), thus did Borel, Baire and Lesbegue claimed to adopt set theory, exclusively for its practical value, i.e. its applications to other branches of mathematics, including function theory. For this reason, Couturat considered his French colleagues to be ‘applied mathematicians’ and not practitionners of abstract set theory. This stance of Borel, Baire and Lesbegue is fully analyzed and documented by Gispert (1995, p. 53, 58–59, 72–73, 75).
78.
L. Couturat to E. Borel, 16.12.1904, FBP, ms. 054, p. 2.
79.
L. Couturat to E. Borel, 16.12.1904, FBP, ms. 054, p. 2: “il serait bon de les faire connaître […], et pour cela il est naturel de compter surtout sur les jeunes mathématiciens. Du reste, je vais publier bientôt un manuel de Logistique destiné à vulgariser la connaissance de cette Logique nouvelle; car […] si les symbols sont propres à Peano, les idées datent d’un demi-siècle, et sont à peu près les mêmes chez tous les logiciens modernes, dont l’accord garantit l’objectivité de ces théories”.
80.
L. Couturat to E. Borel, 19.12.1904, FBP, ms. 054, c. 2v: “Quant à la “Logique nouvelle”, fondée […] par des mathématiciens et issue de l’étude des mathématiques, ce n’est pas à des mathématiciens qu’il convient de la méconnaître; et ils sont malvenus à nous renvoyer à Aristote! Le divorce séculaire de la Logique et des Mathématiques vient justement de ce que la logique aristotélicienne ne s’appliquait pas aux mathématiques. La logique nouvelle est au contraire la Logique des mathématiques, et c’est pour quoi l’entente entre mathématiciens et logiciens est naturelle et désirable. Mais il ne faut pas que les mathématiciens confondent la nouvelle Logique avec l’ancienne dans un égal dédain, et l’ignorent de parti-pris”.
81.
L. Couturat to G. Peano, 5.1.1905, in Luciano and Roero (2005, p. 83).
82.
L. Couturat to B. Russell, 18.12.1904, in Schmid (2001, vol. 2, p. 454).
83.
B. Russell to L. Couturat, 1.1.1905, in Schmid (2001, vol. 2, p. 461–462).
84.
Regarding this last aspect, we just recall that in Italy the publication of the first treatise on mathematical logic (Logica Matematica, published by C. Burali-Forti with Hoepli) dates from 1894. In France it was only in 1912 that Gauthier-Villars published Padoa’s handbook La logique deductive dans sa dérnière phase de developpement. The preceding attempts by Couturat to publish a Traité or Manuel de Logique algorithmique with Alcan had come to nothing.

References

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Authors and Affiliations

Department of Mathematics ‘G. Peano’, University of Turin, Turin, Italy
Erika Luciano

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Erika Luciano
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Correspondence to Erika Luciano .

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Editors and Affiliations

Humanités et sciences sociales, École polytechnique, Palaiseau Cedex, France
Frédéric Brechenmacher
Université d'Artoise, Lens, France
Guillaume Jouve
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université Pierre et Marie Curie , Paris Cedex 05, France
Laurent Mazliak
UFR Mathématiques, Université Lille 1 , Villeneuve d'Ascq, France
Rossana Tazzioli

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Luciano, E. (2016). The French ‘Analysts’ and Peano’s Mathematical Logic: Couturat’s Remarques to Borel, Baire and Lebesgue. In: Brechenmacher, F., Jouve, G., Mazliak, L., Tazzioli, R. (eds) Images of Italian Mathematics in France . Trends in the History of Science. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-40082-2_7

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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-40082-2_7
Published: 14 October 2016
Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-319-40080-8
Online ISBN: 978-3-319-40082-2
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