Abstract
Euler’s Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentis, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, [75].
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- 1.
A translation into English of the volume is provided by Ian Bruce in http://www.17centurymaths.com.
- 2.
In the Introduction to volume XXIV of Euler’s Opera omnia, that reproduce the Methodus, Carathéodory listed 100 problems arranged in 11 convenient categories.
- 3.
Compulsory references are Carathéodory’s introduction to volume XXV of Euler’s Opera Omnia, [50], and [48], [49], [117]. See also [112], [105], [104].
- 4.
The method of finding curves enjoying the property of maximum or minimum.
- 5.
Inflection points were not taken into account by Euler . The idea was that once critical points or extremals were found it would be possible to distinguish by direct inspection minimum points from maximum (or inflection) points.
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The notation p for the first derivatives, q for the second, r for the third, and so on are still in use todays.
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Here one has to take into account that a theory of integration, in the modern sense, was developed only much later. In the Eighteenth century a notation for the definite integral was not available and whenever this is needed it is explained in words (later, whenever it helps the comprehension, we shall use the modern notation). However, Euler is aware that suitable assumptions are needed in order to integrate the function \(Z(x,y(x),p(x),\ldots )\) and he takes care of exemplifying this by specifying suitable typologies of formula.
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To be understood up to any finite order.
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With reference to Figure 6.1, \(\ldots ,\) \(L=x_{-1},\) \(M=x,\) \(N=x_1,\) \(\ldots \).
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On the absolute method for finding curves of maxima or minimum.
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For our modern understanding the simplest and relevant case is \(Z=Z(x,y,p).\)
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Euler writes “Methodus a resolutione geometrica et lineari libera”.
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The following is the original passage in Latin.
Hinc ad Problemata resolvenda, in quibus curva quaeritur habens valorem formulae \(\int Zdx\) maximum vel minimum, existente \(dZ=Mdx+Ndy+Pdp\), valo ipsius Z debet differentiari atque in differentiali \(Mdx+Ndy+Pdp\) loco Mdx poni debeat 0, Ndy immutatum relinqui, tum vero loco Pdp scribi \(-Pdp\) et id, quod emergit, nihilo aequale poni. Hoc enim pacto obtinebitur \(Ndy-pdP=0\); quae aequatio, ob \(dy=pdx\), transit in hanc \(N-\frac{dP}{dx}=0\), quae est ea ipsa, quam invenimus. Desideratur itaque Methodus a resolutione geometrica et lineari libera, qua pateat in tali investigatione maximi minimive loco Pdp scribe debere \(-pdP.\)
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As said, this has to be understood in the sense that derivatives up to any fixed order may appear.
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On finding curves of maximum or minimum when indeterminate quantities are present in the formula of the maximum or minimum.
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Here we may see implicitly an anticipation of the theory of Lagrange’s multipliers.
- 17.
Euler writes instead of \(\lambda \)
$$H-\int _0^x L\, dx,$$where \(H=\int _0^a Ldx.\)
- 18.
This does not mean that Euler possessed the method of Lagrange multiplier, which was explicitly stated only in Lagrange’s treatises [157] [152] [158].
- 19.
While the method is the same, the computations are now more complicated.
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Concerning the use of the method now treated in the resolution of various kinds of questions.
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Methodus inter omnes curvas eadem proprietate praeditas inveniendi eam quae maximi minimive proprietatem gaudeat.
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Of course, one should make sure that the constraint does not define an empty set or an isolated element. Euler discusses issues of these type only partially in Paragraph 9.
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Taken from [117], pp. 100-101.
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For instance, compare [6] [7] [17] [31] [5] [69] and [197]. Compare also [181] [101] [111].
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The following is the original passage in Latin.
1. Iam pridem summi quique Geometrae agnoverunt Methodi in hoc libro traditae non solum maximum esse usum in ipsa Analysi, sed etiam eam ad resolutionem Problematum physicorum amplissimum subsidium afferre. Cum enim Mundi universi fabrica sit perfectissima atque a Creatore sapientissimo absoluta, nihil omnino in mundo contingit, in quo non maximi minimive ratio quaepiam eluceat; quamobrem dubium prorsus est nullum, quin omnes Mundi effectus ex causis finalibus ope Methodi maximorum et minimorum aeque feliciter determinari queant, atque ex ipsis causis efficientibus. Huius rei vero passim tam eximia extant specimina, ut ad veritatis confirmationem pluribus Exemplis omnino non indigeamus; quin potius in hoc erit elaborandum, ut in quovis Quaestionum naturalium genere ea investigetur quantitas, quae maximum minimumve induat valorem; quod negotium ad Philosophiam potius quam ad Mathesin pertinere videtur. Cum igitur duplex pateat via effectus Naturae cognoscendi, altera per causas efficientes, quae Methodus directa vocari solet, altera per causas finales, Mathematicus utraque pari successu utitur. Quando scilicet causae efficientes nimis sunt absconditae, finales autem nostram cognitionem minus effugiunt, per Methodum indirectam. Quaestio solet resolvi; et contrario autem Methodus directa adhibetur, quoties ex causis efficientibus effectum definire licet. Inprimis autem opera est adhibenda, ut per utramque viam aditus ad Solutionem aperiatur; sic enim non solum altera Solutio per alteram maxime confirmatur, sed etiam ex utriusque consensu summam percepimus voluptatem. Hoc modo curvatura funis seu catenae suspensae duplici via est eruta, altera a priori ex sollicitationibus gravitatis, altera vero per Methodum maximorum ac minimorum, quoniam funis eius modi curvaturam recipere debere intelligebatur, cuius centrum gravitatis infimum obtinere locum. Similiter curvatura radiorum per medium diaphanum variae densitatis transeuntium tam a priori est determinata, quam etiam ex hoc principio, quod tempore brevissimo ad datum locum pervenire debeant. Plurima autem alia simila exempla a Viris Celeberrimis Bernoulliis aliisque sunt prolata, quibus tam Methodus solvendi a priori quam cognitio causarum efficentium maxima accepit incrementa. Quanquam igitur ob haec tam multa ac praeclara specimina dubium nullum relinquitur, quin in omnibus lineis curvis, quas Solutio Problematum physico-mathematicorum suppeditat, maximi minimive cuiuspiam indoles locum obtineat, tamen saepenumero hoc ipsum maximum vel minimum difficillime perspicitur, etiamsi a priori Solutionem eruere licuisset. Sic etsi figura, quam lamina elastica incurvata induit, iam pridem est cognita, tamen, quemadmodum ea curva per Methodum maximorum et minimorum, hoc est, per causas finales investigari possit, a nemine adhuc est animadversum. Quamobrem, cum Vir Celeberrimus atque in hoc sublimi naturam scrutandi genere perspicacissimus Daniel Bernoulli mihi indicasset se universam vim, quae in lamina elastica incurvata insit, una quadam formula, quam vim potentialem appellat, complecti posse, hancque expressionem in curva Elastica minimam esse oportere, quoniam hoc invento Methodus mea maximorum ac minimorum hoc Libro tradita mirifice illustratur eiusque usus amplissimus maxime evincitur, hanc occasionem exoptatissimam praetermittere non possum, quin hanc insignem curvae Elasicae proprietatem a Celeberrimo Bernoullio observatam publicando simul Methodi meae usum clarius patefaciam. Continet enim ista proprietas in se differentialia secundi gradus, ita ut ei evolvendae Methodi Problema isoperimetricum solvendi ante traditae non sufficiant.
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Or, are tangent at these points to given right lines.
- 27.
Notice that Euler is studying the qualitative behaviour of elliptic integrals .
- 28.
On the motion of bodies in a non-resisting medium. Euler used the term projectiles or projected bodies instead of bodies, meaning a material point, that is a point with mass.
- 29.
In doing that of course he needs an expression for v that is an equation for v, that he identifies in a conservation law, see below.
- 30.
The translation is that of [117] p. 106. The original Latin passage follows.
1. Quoniam omnes naturae effectus sequuntur quandam maximi minimive legem, dubitum est nullum, quin in lineis curvis, quas corpora proiecta, si a viribus quibuscunque sollicitentur, describunt, quaepiam maximi minimive proprietas locum habeat. Quaenam autem sit ista proprietas, ex principiis metaphysicis a priori definere non tam facile videtur; cum autem has ipsas curvas ope Methodi directae determinare liceat; hinc debita adhibita attentione id ipsum, quod in istis curvis est maximum vel minimum, concludi poterit. Spectari autem potissimum debet effectus a viribus sollicitantibus oriundus; qui cum in motu corporis genito consistat, veritati consentaneum videtur hunc ipsum motum seu potius aggregatum omnium motuum, qui in corpore proiecto insunt, minimum esse debere. Quae conclusio etsi non satis confirmata videatur, tamen, si eam cum veritate iam a priori nota consentire ostedero, tantum consequetur pondus, ut omnia dubia, quae circa eam suboriri queant, penitus evanescant. Quin-etiam, cum eius veritas fuerit evicta, facilius erit in intimas Naturae leges atque causas finales inquirere hocque assertum firmissimis rationibus corroborare.
- 31.
The reader interested to know more may consult for example [3] [180] [42] [111].
- 32.
The following is the original passage in French.
Si les Sciences sont fondées sur certain principes simples et clair dès le premier aspect, d’où dépendent toutes les vérités qui en sont l’object, elles ont encore d’autres principes, moin simple à la vérité, et souvent difficiles à decouvrir, mais qui étant une fois découverts, sont d’une très-grande utilité. Ceux-ci sont en quelque fa\(\chi {c}\)on le Lois que la nature suit dans certaines combinations de circonstances, et nous apprennent ce qu’elle fera dans de semblables occasions. Les premiers principes n’ont guére besoin de Démonstration, par l’évidence dont ils sont dès que l’esprit les examine; les derniers ne s\(\chi {c}\)auroient avoir de Démonstration physique à la rigueur, parce qu’il est impossible de parcourir généralement tous les cas où ils ont lieu.
Tel est, par example, le principe si connu et si utile dans la Statique ordinaire: que Dans tous les assemblage de corps, leur common centre de gravité descend le plus bas qu’il est possible.Tel est celui de la conservation des Forces vives. Jamais on n’a donné de Démonstration générale à la rigueur, de ces principes; mais jamais personne, accoûtumée à juger dans les Sciences, et qui connoîtra la force de l’induction, ne doutera de leur vérité. Quand on aura vû que dans mille occasions la Nature agit d’une certain manière, il n’y a point d’homme de bon sens qui croye que dans la mille-unième elle suivra d’autres loix.
Quant aux Démonstration à priori de ces sortes de principes, il ne paroît pas que la Physique les puisse donner; elle semble appartenir à quelque science supérieure. Cependant leur certitude est si grande, que plusieur Mathématiciens n’hésitent pas a en faire les fondements de leur Théories, et s’en servent tous les jours pour résoudre des Problèmes, dont la solution leur coûteroit sans eux beaucoup plus de peine.
- 33.
The following is the original passage in French.
Loi du repos. Soit un systeme de corps qui pesent, ou qui sont tirés vers des centres par des Forces qui agissent chacune sur chacune, comme une puissance n de leur distance aux centres; pour que tous ces corps demeurent en repos, il faut que la somme des produits de chaque Masse, par l’intensité de sa force, et par la puissance \(n+1\) de sa distance au centre de sa force (q’on peut appeler la somme des Forces du repos) fasse un Maximum ou un Minimum.
- 34.
The following is the original passage in French.
En méditant profondément sur cette matière, j’ai pensé que la lumiere, lorqu’elle passe d’une milieu dans une autre, abandonnant déjà le chemin le plus court, qui est celui de la ligne droite, pouvoit bien aussi ne pas suivre celui du temps le plus prompt: en effet, quelle préférence devroit-il y avoir ici du temps sur l’espace? la lumière ne pouvant plus aller tout-à-la fois par le chemin plus courte, et par celui du temps le plus prompt, pourquoi iroit-elle plûtôt par un de ces chemins que par l’autre? aussi ne suit-elle aucun des deux, elle prend une route qui a un avantage plus réel: le chemin qu’elle tient est celui par lequel la quantité d’action est la moindre.
Il faut maintenant expliquer ce que j’entends par la quantité d’action. Lorsqu’un corps est porté d’un point à un autre, il faut pour cela une certaine action, cette action dépend de la vîtesse qu’a le cops et de l’espace qu’il parcourt, mais elle n’est ni la vîtesse ni l’espace pris séparément. La quantité d’action est autant plus grande que la vîtesse du corps est plus grande, et que le chemin qu’il parcourt est plus long, elle est proportionnelle à la somme des espaces multipliez chacun par la vîtesse avec laquelle le corps les parcourt.
C’est cela, c’est cette quantité d’action qui est ici la vrai dépence de la Nature, et ce qu’elle ménage le plus qu’il est possible dans le mouvement de la lumière.
- 35.
The following is the original passage in French.
Tout les phénomènes de la refraction s’accordent maintenant avec le grand principe, que la Nature dans la production de ses effects agit toûjours par les voies les plus simple. [\(\dots \)]
Le vrai principle une fois découvert, j’en déduit toutes les loix que suit la lumière, soit dans sa propagation, dans sa reflection et sa refraction. [\(\dots \)]
Je connois la répugnance que plusieur Mathématiciens ont pour les Causes finales appliquées à la Physique. [\(\ldots \)]
On ne peut pas douter que toutes choses ne soient réglées par un Etre suprême qui, pendant qu’il a imprimé à la matière des forces qui dénotent sa puissance, l’a destinée à exécuter des effets qui marquent sa sagesse; et l’harmonie de ces deux attributs est si parfaite, que sans doute tous les effets de la Nature se porroient déduire de chacun pris séparément.
- 36.
The original titles in French are:
I. Examen des preuves de l’existence de Dieu, Tirées des merveilles de la Nature.
II. Qu’il faut chercher les preuves de l’existence de Dieu dans les Loix generales de la Nature. Que les Loix selon lesquelles le mouvement se conserve, se distribute et se détruit, sont fondées sur les attributs d’une suprême intelligence.
III. Recherche des Loix du mouvement et du repos.
- 37.
Actually written before the end of 1743. Euler always attributed the priority to Maupertuis for the discovery of principle of the least action.
- 38.
The following is the original passage in French.
Je donnai le principe, sur lequel l’Ouvrage suivant est fondée, le 15 Avril 1744, dans l’Assemblée publique de l’Academie Roiale des Sciences de Paris, comme les Actes de cette Academie en feront foi.
M. le Professeur Euler donna à la fin de la même année son excellent Livre: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Dans le Supplemet qui y avoit été ajoutéFootnote 39 cet illustre géomêtre démontre; que dans les trajéctories, que les corps décrivent par des forces centrales, la vîtesse multipliée par l’élément de la courbe, fait toujour un minimum.
Cette remarque me fit d’autant plus de plaisir, qu’elle est une belle application de mon principe au mouvement des Planetes; dont ce principe en effect est la regle.
Je vais tenter de tirer de la même source des verités d’un genre superieur et plus important.
- 39.
Actually written before the end of 1743. Euler always attributed priority to Maupertuis for the discovery of the least action principle.
- 40.
Actually, Euler says “v is the square of the velocity” but there is a certain inconsistency in the text, for instance, see [117] p. 101, this create problems when he calculates centrifugal force as \(2v/\rho .\) The cause of this inconsistency might depend on the fact that Euler wants to treat the most important quantities of the period, the Leibnizian vis viva or cinetic energy \(1/2mV^2\) and the Cartesian momentum mV (V being the velocity), at the same time. In any case, here we use the notation \(v=V^2/2,\) following Goldstine .
- 41.
The first equation expresses the fact that a variation of the cinetic energy is compensated by the change in the potential energy, that is, the conservation of the total energy. Contrary to \(\dot{V}=g,\) the basic fact is what we would see as a consequence: \(\frac{dV}{dx}=\frac{dV}{dt}\,\frac{dt}{dx}=g\, \frac{dt}{dx}=\frac{g}{V}\) from which \(\frac{dv}{dx}=g.\)
- 42.
The action is given by
$$\int \sqrt{(1+p^2)(A-\int Tdt)}dx.$$ - 43.
From \(xdx+ydy=tdt=xdx+pydx\) he deduces
$$dx=\frac{tdt}{x+py} \quad \text {and} \quad dt=\frac{ptdt}{x+py}.$$ - 44.
The following is the original passage in French.
On vois qu’il doit y avoir une double methode de resoudre les problemes de Mechanique; l’une est la methode directe, qui est fondée sur les loix d’equilibre, ou du mouvement; mais l’autre est celle dont je vient de parler, ou sachant la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, la solution se fait par le moyen de la méthode de Maximis et minimis. La première fournit la solution en déterminant l’effet par les cause efficientes; or l’autre a en vuë les causes finales, et en déduit l’effet: l’une et l’autre doit conduire à la même solution, et c’est cette harmonie, qui nous convainc de la verité de la solution, quoique chaque methode doive être fondée sur des principes indubitables. Mais il est souvent très difficile de découvrir la formule, qui doit être un maximum ou minimum, et par laquelle la quantité d’action est représentée. C’est une recherche qui n’appartient pas tant à la Mathématique, qu’à la Métaphysique puisqu’il s’agit de connoitre le but, que la nature se propose dans ses opérations: et ce seroit porter cette science à son plus haut degré de perfection, si l’on étoit en état d’assigner pour chaque effet que la nature produit, cette quantité d’action, qu’il est la plus petite, et qu’on pût la deduire des premiers principes de notre connoissance. Mais je crois que nous sommes encore bien éloignés de ce degré de perfection, et qu’il sera presque impossible d’y arriver, à moins que nous ne découvrions pour un grand nombre de cas differens les formules, qui y deviennent, ou des maxima, ou des minima. Or sachant les solutions, que la méthode directe nous fournit, il ne sera pas difficile de deviner des formules, qui étant supposées des maxima, ou minima, conduisent aux même solutions. Par ce moyen nous connoitrons à posteriori ces formules qui expriment la quantité d’action, et alors il ne sera plus si difficiles d’en demontrer la verité par des principes connus de la Methaphysique.
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In the French original:
La force est donc comme le produit de la masse par le quarré de la vitesse, et le tems n’y fait rien, comme la démonstration, dont vous voulez faire usage, le montre clairement. Mais l’action n’est point ce que vous pensez: la consideration du tems y entre; il est comme le produit de la masse par l’espace et la vitesse, ou du tems par la force vive. J’ai remarqué, dans les modifications de mouvement, elle devient ordinairement un Maximum ou un Minimum: on en peut déduire plusieurs propositions de grande conséquence; elle pourroit servir à déterminer les Courbes que décrivent les Corps attirés à un ou plusieur Centres. Je voulois traiter de ces choses entre autres dans la seconde partie de ma Dynamique, que j’ai supprimée, le mauvais accueil, que le préjugé a fait à la première, m’aiant dégouté.
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Freguglia, P., Giaquinta, M. (2016). Euler’s Methodus Inveniendi . In: The Early Period of the Calculus of Variations. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-38945-5_6
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Publisher Name: Birkhäuser, Cham
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