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From Classical to Modern Algebraic Geometry pp 289–323Cite as

Birkhäuser

Segre, Castelnuovo, Enriques: Missing Links

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Part of the book series: Trends in the History of Science ((TRENDSHISTORYSCIENCE))

Abstract

At the end of the 1880s, Segre guided Castelnuovo’s research towards the geometry of algebraic curves, introducing Castelnuovo, whose earlier studies had been focused on n-dimensional projective geometry, to birational geometry, which is the starting point of the Italian school of algebraic geometry. After graduating and attending one post-graduate year at the University of Pisa, Enriques got in touch with Segre, aiming to spend 1 year in Turin. He was attracted by the reputation of the young master and, perhaps, by the mathematical environment of Turin University, which was particularly lively in those years. Contrary to his expectations, Enriques was sent to Rome, where in the meantime Castelnuovo had moved. He began to study the birational geometry of algebraic surfaces under Castelnuovo’s direct supervision. Segre followed Enriques’s first results but he was committed to finding a rigorous proof of the theorem of resolution of singularities of algebraic surfaces. His article on singularities was concluded in December 1896 and in the following year his student Beppo Levi completed the proof of the resolution theorem. Meanwhile, Enriques had laid the foundations of the general theory of linear systems of curves on algebraic surfaces and Castelnuovo had proved his famous rationality criterion. The link between Segre, Castelnuovo and Enriques could have turned into a scientific partnership: at the end of 1896, the three geometers planned to collect their results in a general treatise on the theory of algebraic varieties. However, this treatise was never realised.

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Notes

  1. 1.

    Segre had graduated in 1883 under the supervision of Enrico D’Ovidio (1843–1933). Castelnuovo, only 2 years younger, graduated with a thesis supervised by Giuseppe Veronese (1854–1917) in 1886 from the University of Padua. Enriques graduated in 1891 at Pisa, supervised by Riccardo de Paolis (1854–1892).

  2. 2.

    The correspondence, which belonged to the personal archive of Guido Castelnuovo and was donated to the Accademia Nazionale dei Lincei by his daughter Emma, is available in Gario (2010). Enriques’s correspondence was published in full in Bottazzini et al. (1996) with an appendix in Bottazzini et al. (2004).

  3. 3.

    See Castelnuovo (1924) = (Castelnuovo 2002, II, 372): Egli, però, quasi vinto da un senso nostalgico, abbandona ben presto questo campo e ritorna alla geometria proiettiva.

  4. 4.

    See Castelnuovo (1924) = (Castelnuovo 2002, II, 375): La ricerca di semplicità ed eleganza che rende così attraenti i suoi scritti, l’avversione per i ragionamenti complicati ove si riveli lo sforzo, per i procedimenti arditi ai quali talora si è costretti a ricorrere nella fase della scoperta, lo hanno forse trattenuto dal troppo inoltrarsi nelle regioni che aveva cominciato ad esplorare.

  5. 5.

    Segre is referring to Castelnuovo (1885–1886a).

  6. 6.

    Segre is referring to D’Ovidio (1876–1877).

  7. 7.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 31 July 1885: Di ritorno dal campo trovo la memoria, che ella gentilmente volle inviarmi … Non ho voluto ringraziarla prima d’averla letta; ed ora La ringrazio di cuore, perché il suo lavoro mi ha interessato e mi parve riguardo alla questione degli angoli di due spazi più completo ed elegante che i lavori precedenti in cui è trattato quell’argomento. Tra i quali lavori però avrei voluto veder citata la memoria del d’Ovidio sulle funzioni metriche fondamentali di uno spazio qualunque, […].

  8. 8.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 29 July 1886: Ella ha ragione: è un brutto sistema quello pur così generale di lodare i lavori senza leggerli. Io ho invece l’abitudine di leggere tutte le memorie che ricevo e di farne la critica agli autori: faccio con gli altri ciò che vorrei si facesse con me.

  9. 9.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 6 October 1887 (letter written in a different hand: at the time, Segre was having trouble with his eyesight): Profitto di questa occasione per parlarle di un’idea che mi è venuta in mente e che la riguarda. Accetterebbe Ella di essere qui a Torino assistente del professor D’Ovidio (per l’algebra complementare e la geometria analitica) durante l’anno scolastico che sta per cominciare? Si tratta, come le dissi, di una mia idea […] Quel posto fu dato per molti anni da quel chiarissimo Professore, ogni anno al miglior laureato di quest’Università, (io considero come un mio titolo d’onore l’averlo coperto).

  10. 10.

    At the time when our story begins, the memoir (Brill and Noether 1874) was the fundamental reference for the algebro-geometric approach to the theory of algebraic curves. Brill-Noether’s point of view was developed in more geometric terms by Segre and Castelnuovo. It should be recalled that Riemann’s theory of abelian integrals \(\int {{R}\left( {{x},{z}} \right){dz}}\), where R is a rational function, was the starting point of the general theory of algebraic curves. The genus p of a Riemann surface S could be described in an analytic way as the maximal number of linearly independent Abelian integrals of the 1st kind (integrals of holomorphic differential forms) on S. The explicit description of these differential forms made it possible to define, on the algebro-geometric side, the genus of plane irreducible algebraic curves C of ℙ2(ℂ), of a given order n, by means of the adjoint curves of order \({n} - 3\), defined by suitable conditions at the singular points of C (adjoint conditions): the genus of C is the maximal number of linearly independent homogeneous polynomials of degree \({n} - 3\) describing adjoint curves. The genus of a smooth curve C is given by the formula \({p }\) = \({ }\frac{{\varvec{ }({n} - 1)({n} - 2)}}{2}\). If the curve C has singularities, a correction term in the formula is necessary and this term depends on local properties of C at singular points. Noether, after having introduced the decomposition of a singular point into a finite number of infinitely near multiple points (see footnote (53)), gave the formula \({p }\) = \({ }\frac{{{ }({n} - 1)({n} - 2)}}{2} - \sum {\frac{{\sigma_{{i}} (\sigma_{{i}} - 1)}}{2}}\), where \(\sigma_{{i}}\) are the multiplicities of these points, generalizing the formula \({p} = { }\frac{{{ }({n} - 1)({n} - 2)}}{2} - {d}\) for a curve having d nodal points only. These formulae are based on the property that the singular points impose independent conditions in the vector space of the adjoint curves. All these questions became crucial for developing the theory of algebraic surfaces from the algebro-geometric standpoint. As interesting reference, see Kleiman (2004).

  11. 11.

    The article is dated February 1889.

  12. 12.

    Castelnuovo (1888–1889b) = (Castelnuovo 2002, I, 204)... [non] ci limitiamo a considerare serie di gruppi di punti segate su curve piane da curve aggiunte. Ma consideriamo le curve in generale senza limitare le dimensioni degli spazi che le contengono, e seghiamo le serie mediante spazi di forme fondamentali.

  13. 13.

    The plan to publish a selection of the geometry memoirs was designed to mark Castelnuovo’s scientific jubilee in 1935. The notes added by Castelnuovo were reproduced, maintaining the original location, in the latest edition of Castelnuovo’s Opere Matematiche (Castelnuovo 2002). The Introduction and the Index of Castelnuovo (1937) were republished in the volume containing the writings of 1937.

  14. 14.

    See Castelnuovo (1937, Nota aggiunta) = (Castelnuovo 2002, I, 229).

  15. 15.

    It is worth noting Segre’s additional observations to the article, “Sui sistemi lineari di curve piane algebriche di genere p” (Segre 1887d), reported in a footnote to Castelnuovo’s article, “Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche” (Castelnuovo 1890), and to the article, “Un’osservazione intorno alla riducibilità delle trasformazioni Cremoniane e dei sistemi lineari di curve piane per mezzo di trasformazioni quadratiche” (Segre 1900–01), reported in a footnote to Castelnuovo’s article, “Le trasformazioni generatrici del gruppo cremoniano nel piano. Estratto di una lettera al prof. Corrado Segre” (Castelnuovo 1900–1901).

  16. 16.

    See Castelnuovo (1937, Introduzione) = (Castelnuovo 2002, IV, 199).

  17. 17.

    See Castelnuovo (1937, Nota aggiunta) = (Castelnuovo 2002, I, 229).

  18. 18.

    Castelnuovo referred to Enriques and Chisini (1915, Vol. III, Chap. 1, Sects. 10–14) and Severi (1926, Chap. 7). Recall that Severi was a student of Segre’s. He graduated in 1900.

  19. 19.

    See the Part III in the present volume.

  20. 20.

    Eugenio Bertini (1846–1933) wrote a reappraisal of Brill-Noether’s memoir (Bertini 1894) along with the aforementioned paper by Segre. In this regard, Bertini wrote to Castelnuovo: “I have applied myself to the work that Segre will have spoken to you about in Turin and I wanted to finish it as quickly as possible …. Today I sent it to Segre. There is little that is new, but I think that it could be useful in order to spread the concept of geometry on a curve among us here”. The paper served “to arouse the interest of the reader” in Castelnuovo’s work (Castelnuovo 1888–1889b) and at the same time “to show the profusion of applications of geometry on a curve”. See Gario (2010), Bertini to Castelnuovo, 19 September 1893.

    As an interesting reference on Bertini’s contribution, see Kleiman (1998).

  21. 21.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 12 November 1891: Caro Guido, ricevo la tua affettuosa lettera, e te ne ringrazio. Da Lunedì tu mi manchi ed io sento vivamente questa lacuna. Tu accenni a quel po’ di giovamento che hai potuto avere in questi quattro anni dalla mia compagnia. Se ciò è vero, è pur vero che da te io ho avuto un completo ricambio, e che il tuo ingegno acuto, come la tua bontà di cuore m’han reso continuamente utili e piacevoli le tante ore che passavamo insieme. Io m’ero avvezzato a considerarti come un fratello minore: minore, intendo d’anni ed esperienza (il che giustificava la mia tendenza a consigliarti nelle varie occasioni). O forse, esagerandomi la differenza di età e di carattere, c’erano anzi talvolta in me al tuo riguardo i sentimenti di un padre verso un figlio: ed io mi sentivo fiero degli elogi che ti toccavano, fiero di vederti stimato come meritavi […] Tu m’hai fatto del bene, lo ripeto, non solo intellettualmente ma anche moralmente. Ed ora che tu mi manchi sento realmente un vuoto, che non sarà colmato da nessuno. Serbiamo almeno, anche a distanza inalterata la nostra amicizia: amicizia di due ragazzi che al di sopra dell’egoismo dei filistei ripongono i loro ideali di bontà, di onestà e di culto della scienza.

  22. 22.

    See Castelnuovo (1891) = (Castelnuovo 2002, I, 316).

  23. 23.

    The idea of a close analogy between curves and surfaces inspired the theory of algebraic surfaces at its beginnings (see footnote (10)). The algebro-geometric approach was developed by Alfred Clebsch (1833–1872) who in 1868 introduced the double integrals of the 1st kind (double integrals of algebraic differential forms \(\int {\int {R(x,y,z)dxdy} }\), where \(R\) is a rational function, which are defined over a algebraic surface \(S\) and finite over each closed bounded real two-dimensional domain of integration in \(S\)) and the corresponding adjoint surfaces. If \(S\), of equation \(F\left( {x,y,z} \right) = 0\) of degree n, has only ordinary singularities (see footnote (55)), \(R(x,y,z)\) is of the form \(\frac{Q(x,y,z)}{{F_{z}^{'} }}\) where \(Q\left( {x,y,z} \right)\) is a polynomial of degree \(m \le n - 4\) vanishing along the nodal curve of \(S\). The maximal number of linearly independent double integrals of the 1st kind linearly independent is finite. This number, later called by Noether flächengeschlecht (Noether 1875), corresponds to the geometric genus \(p_{g}\) and it is invariant under birational transformations of \(S\). The algebraic surfaces of equations \(Q\left( {x,y,z} \right) = 0\) are the adjoint surfaces. An adjoint surface \(\psi _{n - 4}\), of order \(n - 4\), to a given surface \(S\) of ℙ3(ℂ), of order \(n\), has at the singular curves and isolated points of \(S\) a suitable behavior. The adjunction conditions depend on the nature of the singularities of \(S\): for example (see Noether 1870), an ordinary \(s\)—fold curve for \(S\) is an \((s - 1)\)—fold curve for \(\psi _{n - 4}\) and an ordinary (isolated) \(r\)—fold point of \(S\) is an \((r - 2)\)—fold point for \(\psi_{n - 4}\). Arthur Cayley (1821–1895) determined formulae for computing the genus by introducing the concept of postulation of a curve which is the number of conditions that a curve imposes on the surfaces of a given order, in order to be a singular curve of a specified type for those surfaces. Implicit in Cayley’s postulation formulae is the independence of the conditions imposed on the surfaces \(\psi_{n - 4}\): the number they give was later called the numerical or arithmetic genus of the surface and denoted by \(p_{n}\) or \(p_{a}\). For more references see Gario (1991). Castelnuovo’s example showed that the two definitions of the genus could lead to different results, not only for ruled surfaces, and he therefore highlighted the distinction between the arithmetic genus and the geometric genus. For an interesting reference for the history of the concept of irregularity \(q = p_{g} - p_{a}\), see Bardelli (1994).

  24. 24.

    One of his teachers was Bertini.

  25. 25.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 15 July 1892.

  26. 26.

    This paper had a significant influence on Enriques (1895). For more detail see Ciliberto and Gario (2012).

  27. 27.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 18 July 1892: “Parliamo dell’Enriques. … Concorra pel posto di perfezionamento: su ciò non vi è alcun dubbio. Il dubbio l’ho invece, nel caso che vinca, se proprio debba profittare per venire a Torino. Non nego che la mia compagnia e le mie lezioni possano giovargli. Ma a Roma la tua compagnia e le lezioni di Beltrami e Cremona non gli gioverebbero altrettanto e più?

  28. 28.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 16 November 1892: L’Enriques è un giovane simpatico, che ogni sera viene ad aspettarmi qui vicino (col quale poi mi trovo con d’Ovidio, Korsenberg, Foà ecc.) per discorrere di cose varie. … Avrebbe gran bisogno di maggiori studi e sovratutto di chi insistesse per fargli acquistar maggior ponderatezza. Fa degli errori veramente grossolani, per effetto di leggerezza. Trascurato nella ricerca, come nell’esposizione avrai molto da fare intorno a questo giovane.

  29. 29.

    See Castelnuovo (1947) = (Castelnuovo 2002, Vol. IV, 218).

  30. 30.

    During my course I have spoken in several lectures about linear series on an M k rather than on a curve. Many things are certainly developing. During the autumn holidays, for M k , I plan to go ahead with a study on Restsatz, special series, Riemann-Roch theorem, etc., similar to the hyperspatial study done on curves 2 years ago. I am almost certain that it is possible. Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 14 May 1893.

  31. 31.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 14 May 1893: Non so se le ricerche di Enriques sulle superficie abbiano punti di contatto con quelle che io ora vado facendo. Gli scriverò in questi giorni. Tu dimmi che ne pensi, senza però enunciarmi i suoi risultati, dove contenessero cose non indovinabili senz’altro.

  32. 32.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 16 May 1893: Quanto ti scrissi ultimamente mi faceva desiderare di tardare a conoscere i suoi risultati. Ma tu che mi conosci capirai che a considerazioni personali di questo genere io dò un peso assai piccolo. Anzi, vedrò con curiosità se e come l’Enriques abbia fatto ciò che io m’ero avviato a fare. Bisognerebbe che io avessi la memoria dell’Enriques alcuni giorni prima dell’11 (giugno) …. Non posso assicurare che il lavoro di Enriques sarebbe pubblicato presto: dipende dalla quantità di memorie che verranno presentate prima […]. Del resto la simpatia che m’ispira l’Enriques e ciò che tu già mi dici sul suo lavoro fanno sì che io ben volentieri accetterò di presentarlo, se egli crede.

  33. 33.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 27 May 1893: Ho ricevuto il manoscritto di Enriques e ne ho già letto attentamente la metà. Intanto ti prego di raccomandargli maggior cura nell’esposizione e specialmente nella forma materiale. Raccomando poi caldamente il rigore, il rigore, il rigore. Già ho trovato in qualche punto delle asserzioni gratuite […]. Meglio ritardare la stampa del lavoro piuttosto che scemare l’importanza dei questo con dimostrazioni incomplete o proposizioni sbagliate.

  34. 34.

    See Castelnuovo (1947) = (Castelnuovo 2002, IV, 219).

  35. 35.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 20 July 1893: L’Enriques ha fatto varie modificazioni al suo lavoro e voleva ancora che lo rivedessi. Ma io mi son rifiutato! Faccia un po’ da sé, che diamine! Non vorrei certo che venisse a Torino se pensa di continuare nel sistema di farsi aiutare in tutto, ad ogni passo […]. Capisco bene che desideri continuare a Roma ove ha te, così buono!”.

  36. 36.

    This refers to Enriques (1893–1894).

  37. 37.

    Bottazzini et al. (1996), Enriques to Castelnuovo, 1 January 1894, 61: L’errore era realmente lieve? … Certo questo mi ha fatto un gran dispiacere, non tanto perché avevo assicurato il Segre e te di aver posto ogni cura nella redazione del lavoro …, quanto perché mi accorgo disgraziatamente che nonostante tutti i miei sforzi (di cui tu sei stato testimone) il mio sostanziale difetto permane ancora. […]. Io ho tentato fino ad ora di persuadere il S[egre] (e vi sono in parte riuscito) che la cattiva opinione che egli conservava di me su questo rapporto non è ora più giusta […]. Se vi è una cosa che mi commuova e mi sproni a correggermi del mio difetto (oltre al sentimento della necessità) più che il rigore (pur tanto benevolo) del S[egre] è la tua longanimità. Tu più spesso d’ogni altro testimone dei miei errori non me ne hai mai rivolto un rimprovero acerbo, non mi hai mai mostrato impazienza. Ed io te ne sono grato di cuore; tu mi compatisci e mi correggi ad un tempo; la tua parola mi rianima sempre perché altrimenti io mi sentirei preso spesso da un grande scoraggiamento.

  38. 38.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 4 August 1893.

  39. 39.

    Bottazzini et al. (1996), Enriques to Castelnuovo, 16 July 1894, 123. In this letter Enriques wrote: I will send you the proof of the conservation of the numerical genus so that you can affirm that all the surfaces of geometric genus = numerical genus = 0 are rational.

  40. 40.

    I am sorry about the new difficulties you are encountering with the question of rational surfaces. The existence of a surface of the genus 0 having ψ 2n-8 and not ψ n-4 surfaces would indeed be strange; however, it wouldn’t surprise me. Try with a surface of the 6th order having the 6 edges of a tetrahedron as double curve (if it exists). Bottazzini et al. (1996), Enriques to Castelnuovo, 22 July 1894, 125.

    The surface described in this letter is of degree 6 and contains a nodal double curve consisting of the edges of the tetrahedron whose vertices are triple points for the surface. There are no quadrics passing through the edges of the tetrahedron, i.e., no adjoint surfaces ψ n-4 containing the nodal curve, and therefore p g  = 0. The existence of the reducible surface ψ 2n-8 of degree 4, consisting of a sum of the four faces of tetrahedron ensures that the bigenus P 2 is not zero. In Enriques (1906) Enriques completed the birational classification of surfaces with p g  = q = 0 e P 2  = 1, known today as Enriques surfaces.

  41. 41.

    Bottazzini et al. (1996, Enriques to Castelnuovo, 13 April 1894, 92).

  42. 42.

    See Notebook 5 in Giacardi (2013).

  43. 43.

    Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 7 May 1894).

  44. 44.

    The reference is to Segre (1894a).

  45. 45.

    Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 7 May 1894): I miei pensieri (scientifici), ora che la memoria sugli enti ∞ [semplicemente infiniti] è finalmente pubblicata (l’hai letta tutta?), si rivolgeranno sempre alle superficie: per le quali vi sono da trattare questioni analoghe, in varie direzioni. Per alcune servono metodi simili: non per tutte.

  46. 46.

    “The issues you raise in your last letter are all interesting and worthy of my attention. What I fear is that time will go by, I will spend a few years only elaborating a little further what has been done so far on surfaces. Certain things may already be found in analytical works (Kronecher, Weierstrass and other scholars), but since their mode of exposition is completely different, it is difficult to make comparisons. Anyway, I very much appreciated your opinion of my work. Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 17 May 1894). In a letter dated 11 July 1894, Segre wrote to Castelnuovo saying that he was working on extending to surfaces his memoir on the geometry on simply infinite algebraic entities and that he had already drafted a few sections.

  47. 47.

    In July, an opportunity for further correspondence between the three arose thanks to a letter from. Émile Picard (1856–1941), who had decided “to say something about the work done in Italy” (Gario 2010, Picard to Castelnuovo, 7 July 1894) and (Bottazzini et al. 1996, 659) in an article regarding recent developments in mathematics for the Revue Générale des Sciences pures et appliquées (Picard 1894). For this reason Picard had written to Castelnuovo asking him for “a short summary on the work done in Italy over the last 2 or 3 years on the theory of algebraic surfaces (Castelnuovo, Enriques, etc.)” so that he would not omit anything important. Naturally, Castelnuovo wrote to Segre about this, partly to ask him for suggestions as to what should be mentioned. “I am writing […] to congratulate you about Picard’s letter”, wrote Segre, adding his first suggestions. See Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 19 September 1894. Picard’s contribution to the general theory of surfaces dates back to 1884–1885. For an account of Picard’s work, see Houzel (1991). The letter quoted is one of the first examples testifying to Picard’s interest in the new research on the theory of algebraic surfaces that had started in Italy. This interest is confirmed by numerous references found in Vol. I of the treatise by Picard and Simart (1897). The geometric approach to the theory of algebraic surfaces, whose concepts and results did not show a clear correspondence with the transcendent theory developed in France, is the cultural basis for the formative process that would lead to the identity of the Italian school of algebraic geometry. The conceptual links with the French mathematicians’ results were clarified around the turn of the century and the chapter by Castelnuovo and Enriques at the end of Vol. II of the above-mentioned treatise (Castelnuovo and Enriques 1906) gives a brief elucidation of the issue; for details, see Gario (1997). Concerning the relationship between German and Italian school, see Gray (1994). For later developments of the Italian school of algebraic geometry, see Brigaglia and Ciliberto (1995).

  48. 48.

    Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 8 August 1894).

  49. 49.

    Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 13 September 1894): Son passato a ‘pensicchiare’ alle superficie. Ciò che tu mi scrivi su questo argomento è assai interessante. Ma appunto perciò mi sarebbe venuto il dubbio che sarebbe prematuro ora un corso sulle superficie, perché tu (e l’Enriques) renderai in pochi mesi antiquato ciò che ora si potrebbe fare. D’altra parte l’argomento è così vasto che io potrò solo fare qualche cosa in un anno: e forse potrò scegliere qualche capitolo che non sia tanto imperfetto come altri. Così sarebbe forse utile un po’ di studio delle singolarità delle superficie […] non fosse che per vedere fino a qual punto si possono cacciare via. A ciò appunto penso da ieri!.

  50. 50.

    Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 13 September 1894).

  51. 51.

    See footnote (23).

  52. 52.

    These conditions, as clarified later, required that the given surface should be regular.

  53. 53.

    See Noether (1871). In this article, which became a fundamental reference for successive studies on the analysis and resolution of singularities of algebraic curves and surfaces, the notion of infinitely near multiple points appeared for the first time. Let γ be an algebraic curve having at O a non-ordinary s-fold point and let \(t_{1} , \ldots , t_{l}\), the distinct tangent lines at O to the curve of multiplicity \(\tau_{1} , \ldots ,\tau _{l}\), respectively. Noether applies a first quadratic transformation having as fundamental points the point O and two points A and B, not lying in γ and such that the lines OA and OB do not coincide with any of the lines \(t_{1} , \ldots , t_{l}\). The transformed curve \(\gamma^{'}\) of γ intersects the fundamental line, which corresponds to the point O, at distinct points \(O_{1}^{'} , \ldots , O_{l}^{'}\) which correspond to the tangent lines \(t_{1} , \ldots , t_{l}\). The multiplicity \(s_{i}^{'}\) of the point \(O_{i}^{'}\) for the curve \(\gamma^{'}\) is less than or equal to \(\tau_{i}\). The curve γ is said to have in the first order neighbourhood of O the points \(O_{i}^{'}\) of multiplicity \(s_{i}^{'}\) infinitely near to O. Applying a second quadratic transformation to each of the points \(O_{i}^{'}\) one gets the points \(O_{ij}^{''}\) of multiplicity \(s_{ij}^{''} ,\) infinitely near to O in the second order neighbourhood of O, and so on. See also Noether (1876).

  54. 54.

    Every algebraic surface of projective 3-space can be transformed by a Cremona transformation of the space into a surface with only ordinary multiples curves (i.e., with distinct tangent planes). The only isolated singularities, finite in number, on such curves are ordinary cuspidal points and normal crossing points common to two distinct multiple curves.

  55. 55.

    Every algebraic surface of projective 3-space can be transformed birationally into a surface of projective 3-space with ordinary singularities only, i.e., into a surface having a nodal curve, on which there is a finite number of ordinary cuspidal points and of triple points for the curve with distinct tangent lines, which are also triple and triplanar points for the surface.

  56. 56.

    Kobb claimed that these transformations produce, on the transformed surfaces, multiple curves whose points have singularities not higher than that of the starting point. He also affirmed that the quadratic transformations, for which the singularity of the points of the transformed curves of the given point does not decrease, are finite in number. Segre mentions Kobb’s contribution in the paragraph concerning the first generalisations about geometry on a variety of any dimension: he says here that the singularities “must be considered as decomposed or resolved into elements” (Segre 1894a, Chap. 1, Sect. 3). He refers the reader to the article by Kobb without further comment. Segre goes into some details of the issue of singularities only in Chap. 2, which introduces the simply infinite algebraic entities, for the definition of the genus of a curve (Segre 1894a, Chap. 2, Sect. 9).

  57. 57.

    “The same process seems to be applicable to multiple curves; but it is the multiple points that matter to me in particular. Dismissing these means having, on the surface, systems without fundamental curves, which disturb [orig.: “che danno noia”], systems for which the adjoint coincides with the pseudoadjoint [subadjoint]. So I don’t despair of extending to all surfaces with the geometric genus 0 the theorem on the invariance of the numerical genus, as discussed in Chap. 3 of my Ricerche”. Bottazzini et al. (1996, Enriques to Castelnuovo, 3 May 1894, 101–102).

  58. 58.

    See del Pezzo (1892). The correct spelling is del Pezzo not Del Pezzo. The articulated preposition ‘del’ is typically found in the names of families of noble origin.

  59. 59.

    See del Pezzo (1888).

  60. 60.

    Gario (2010) Segre to Castelnuovo, 2 October 1894: Ed ora vengo allo scopo principale di questa lettera. Le singolarità delle superficie. Debbo subito dichiararti che non ho concluso nulla! Il lavoro del Kobb dà degli sviluppi in serie ottenuti applicando a punti singolari staccati delle trasformazioni quadratiche successive: ma non rileva che queste possono produrre singolarità superiori. Forse da ciò non vengono infirmati i suoi risultati analitici. Ma la stessa inavvertenza fatta dal Del Pezzo basta da sé (senza parlare delle altre) ad annullare tutta la sua sedicente dimostrazione della riducibilità delle singolarità superiori mediante trasformazioni birazionali dello spazio.

    Ora voglio rivedere l'altro, più antico, lavoro di Del Pezzo sulla riduzione, mediante sole corrispondenze birazionali fra superficie, a superficie con linea doppia e punti tripli: caso mai qualcosa ne potessi cavare. Ma ho gran timore di non potere.

  61. 61.

    Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 10 October 1894).

  62. 62.

    Figures 1 and 2 show a copy of the two sheets of notes written by Segre on del Pezzo’s proof of 1888. This document, which is part of a copious set of notes relating to his reading, was discovered in a private archive at the villa known as “Il Pinocchio” in Ancona, which belonged to the family of Segre’s wife, Olga Michelli. As the document is not dated, it is impossible to determine whether it refers to the study mentioned in the letter. For a description of this archive, see Gario (1989, 2015). The document touches on one of the essential points of del Pezzo’s proof. Given the surface F in the ordinary projective space ℙ3(ℂ), del Pezzo applied a birational transformation to F, transforming F into a surface F′ without singularities of a suitable ℙr(ℂ). In order to define the rational map from F to F′, he used the linear system cut out on F by the surfaces of a given order (sufficiently high) passing through the singular points and the singular curves of F and having there the “same singularity” as F. Segre observed that “it is not clear what is intended by the same singularities” (see the sentence highlighted in Fig. 1). As a result of this observation Segre felt that it was necessary to develop an instrument of analysis of singularities of algebraic surfaces that would precisely define the equisingularity introduced by del Pezzo (here I take the liberty of using the term equisingularity, see Zariski (1979). In his paper “Alcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciate sopra una superficie” (Castelnuovo 1897), Castelnuovo specified the meaning of equisingularity for the case of plane curves to introduce the concept of “linear system of plane curves defined by the base points”, bringing into play the infinitely near multiple points, thus delineating a classic theory of equisingularity for plane curves: for further details, see Gario (1990). In the same memoir, Castelnuovo introduced an analogous notion for the linear systems of algebraic surfaces. This is a demonstration of the great significance of Segre’s work on singularities.

  63. 63.

    “When I arrive home I find an adorable little girl who holds out her arms to me and cries if I don’t pick her up and start playing with her” (Gario 2010, Segre to Castelnuovo, 29 October 1894).

  64. 64.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 24 December 1894.

  65. 65.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 9 February 1895: […] avrei molto piacere di uscire in vostra compagnia. Così appunto sarebbe tutta la nostra scuola rappresentata! Segre referred to the publication of the papers (Castelnuovo 1896a, b; Enriques 1896).

  66. 66.

    The program for the course of 1894–1895 was also affected by those difficulties, as can be seen from the notebook (Gario 2002a) which, despite the title on the cover, “Teoria delle singolarità delle curve e delle superficie algebriche”, is actually about the singularities of plane curves.

  67. 67.

    Bottazzini et al. (1996, Enriques to Castelnuovo, 20 October 1894, 140–141): La via delle superfici come quella dei cieli, è seminata di spine.

  68. 68.

    See the notebook “Lezioni sulla teoria delle singolarità delle curve e superficie algebriche” (Gario 2002b).

  69. 69.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 30 October 1896: Il piano del lavoro è ora completamente diverso dall’antico: ed il problema che a te interessa non occupa il posto principale. Credo di averlo portato assai vicino alla soluzione, sebbene qualche lacuna vi sia ancora: ma ho dovuto decidermi a pubblicare senz’altro se no era di nuovo un anno almeno di ritardo!.

  70. 70.

    The controversy emerged with the publication of the articles (Segre 1896–97, 1897–98; del Pezzo 1897a, b, c). Del Pezzo had the last word, however. For details see Gario (1989a).

  71. 71.

    Gario (2010), Segre to Enriques and Castelnuovo, 30 December 1896. The letter is addressed to Enriques and Castelnuovo, in that order. It would seem that Segre sent it to Enriques who then forwarded it to Castelnuovo the following day, with a short accompanying letter.

  72. 72.

    See Zariski (1935, Theory and Reduction of Singularities, Chap. 1, 1–23).

  73. 73.

    The two quotations are from the second (1971) supplemented edition: Zariski (1935), p. 13 and p. 18, respectively.

  74. 74.

    Gario (2010, Segre to Enriques and Castelnuovo, 30 December 1896): In questo argomento, amici miei, bisogna andare molto guardinghi: il merito spesso sta nelle minuzie delle cose, non nei concetti generali che facilmente s’intuiscono.

  75. 75.

    One of the things that contributed towards the international diffusion of the results in the theory of algebraic surfaces was the paper “Sur quelques récents résultats dans la théorie des surfaces algébriques” (Castelnuovo and Enriques 1896) that Noether had agreed to publish in the Mathematische Annalen in place of the original articles (Castelnuovo 1896a, b; Enriques 1896), which were published instead in an Italian journal, partly on Segre’s insistence. The article did not go into any detail on more delicate questions such as the construction of the adjoint system.

  76. 76.

    Gario (2010), Segre to Enriques and Castelnuovo, 30 December 1896: Parliamo ora del grande trattato di Geometria Superiore. Castelnuovo ricorderà che qui a Torino ne abbiam parlato insieme qualche volta come di un lavoro che avremmo fatto insieme più tardi. Ora che un nuovo elemento, energico, s’introduce, la cosa diventa molto più facile. Per altro fo notare che appunto per Enriques converrebbe differire ancora di qualche anno l’impresa: poiché, buono o cattivo che sia, il regolamento vuole che egli si prepari titoli per la sua promozione ad ordinario; sicché per qualche tempo è meglio che egli dedichi la sua operosità scientifica solo a ricerche originali. Vi è poi la solita difficoltà dell’editore: se fosse possibile ricorrere a Gauthier-Villars oppure a Teubner, andrebbe bene! Del resto io approvo completamente l’idea, e credo che fra noi tre si potrebbe fare un buon trattato, armonico, originale. Qualunque sia la forma di collaborazione da adottare, io ho già un modo sicuro di prender parte all’opera: e cioè coi sunti (da me fatti) di vari miei corsi: cioè di qualche corso generale sulle curve, superficie ecc. algebriche, e di corsi speciali sulle singolarità superiori, sulla geometria sopra una curva, sulle superficie razionali e sistemi lineari di curve piane, ecc. Se l’impresa verrà ritardata di qualche anno, qualche nuovo corso farò che potrà pur servire. Inoltre io debbo preparare per l’Enciclopedia tedesca l’articolo sugli iperspazi (varietà algebriche), e ciò potrà pur servire pei capitoli corrispondenti del trattato (analogamente per l’articolo sulle superficie algebriche promesso da Guido all’Enciclopedia).

  77. 77.

    Gario (2010), Segre to Enriques and Castelnuovo, 30 December 1896: Approvo poi pienamente che il trattato sia di noi tre e non d’altri: perché noi tre siamo in piena uniformità d’idee; ed altri forse turberebbe l’armonia dell’opera.

  78. 78.

    This is the letter cited earlier (Gario 2010, Segre to Enriques and Castelnuovo, 30 December 1896) received first by Enriques, who forwarded it to Castelnuovo with a note of accompaniment of his own; see (footnote (71)).

  79. 79.

    Bottazzini et al. (1996), Enriques to Castelnuovo, 31 December 1896, 303–304: I l Segre accetta, come si prevedeva, di riprendere l’idea del trattato. Siccome per parte mia non mi preoccupo dei dubbi che egli muove circa la convenienza per me di cominciarlo (non sarà una ragione per lasciare da parte le ricerche originali, tanto più che non importa andare con fretta), così si può pensare sul serio a tradurre l’idea nel campo dei fatti.

  80. 80.

    These questions are treated in more details in the article (Ciliberto and Gario 2012).

  81. 81.

    The initial plan for the Encyklopädie was modified during its realisation, also because the publication of the various volumes was spread over several years. From the correspondence addressed to Castelnuovo and from the publishing plans, it is possible to reconstruct the development of the project. Castelnuovo and Enriques were also to have written (see Bottazzini et al. 1996, Enriques to Castelnuovo, 26 February 1897, 324) the article “Transformazionen und Korrespondenzen”, later written by Luigi Berzolari (1863–1949) and published in Berzolari (1933), who also wrote Berzolari (1906). The article “Prinzipien der Geometrie”, initially assigned to Heinrich Burkhardt (1861–1914), was reassigned (see Bottazzini et al. 1996, Enriques to Castelnuovo, 16 March 1897, 325) to Enriques (see Enriques 1907). Segre contributed with the article “Mehrdimensionale Räume” (Segre 1921c). Together, Castelnuovo and Enriques contributed with the articles “Grundeigenschaften der algebraischen Flächen” (Castenuovo and Enriques 1908) and “Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus” (Castenuovo and Enriques 1915).

  82. 82.

    Gario (2010, Segre to Enriques and Castelnuovo, 30 December 1896).

  83. 83.

    “I am very keen to collaborate with you for Meyer’s Encyclopedia, whether you want to write each article together, or whether you prefer to split the job between us”, Enriques wrote to Castelnuovo on 9 June 1896, adding, “However, I would advise you to accept the topic of plane algebraic curves because the topic algebraic curves, at least for what concerns geometry on a curve, is a unitary theme”. Instead the theme of the algebraic curves was dealt with in Berzolari (1906).

  84. 84.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 28 August 1898: Occorre anche che ci accordiamo riguardo alle superficie, per separare bene quel che spetta a me e quel che spetta all’articolo tuo e di Enriques sulle superficie. Per ragioni di uniformità mi sembra conveniente di lasciare a voi tutte quante le proprietà di geometria sulla superficie, anche se ottenute per mezzo degli iperspazi; io mi limiterei in generale, quanto alle superficie degli iperspazi, alle proprietà projettive. Così io riprodurrò i risultati tuoi sulle superficie a sezioni ellittiche, iperellittiche, di genere 3, ecc.: non quelli sulle curve canoniche, sul bigenere (sulle superficie considerate nel lavoro sulla razionalità delle involuzioni piane); od, occorrendomi, li citerò soltanto. Dimmi se approvi tu e se approva l’Enriques.

  85. 85.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 9 August 1899: Poi fammi il favore di inviare questa mia lettera ad Enriques, al quale è pure diretta. Anche da lui aspetto che mi esprima tutti i suoi desideri riguardo alla mia opera, in relazione colla vostra, come considerata da sé, e tutti i consigli che gli posson venire in mente.

  86. 86.

    Segre referred to Clebsch (1875–1876) and Salmon (1879).

  87. 87.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 9 August 1899.

  88. 88.

    These were the topics that Segre was thinking of dealing with in the book: Hyperspaces. The most important algebraic varieties present in hyperspaces. Geometry on a curve (linear series of groups of points, etc.) and its applications to spatial and hyperspatial curves. Rational surfaces lying in spaces of various dimensions, in relation to linear systems of plane curves, reduction of these linear systems to types, etc. Gario (2010, Segre to Castelnuovo, 9 August 1899).

  89. 89.

    See Castelnuovo (1937, Introduzione) = (Castelnuovo 2002, IV, 200): Nel rileggere i miei lavori del periodo torinese (1887–1891) risorge innanzi a me la figura dolce e pensosa di Corrado Segre che durante la redazione di quegli scritti mi fu largo di consigli ed incoraggiamenti. Alla memoria dell’amico carissimo, del maestro incomparabile, che con l’esempio mi insegnò la devozione alla scienza ed alla scuola, invio un mesto e riconoscente saluto. Un pensiero di gratitudine rivolgo pure agli altri miei maestri.

  90. 90.

    “For what concerns the opinions expressed here, we refer to Segre’s paper; here we can find the exposition of broad views on geometric trends which could turn out to be useful to young people in their research”. The citation is from the article (Ciliberto and Gario 2012) which makes a comparative analysis of the writings (Segre 1891a) and (Enriques 1895) and, more generally, examines the influence of the Turin milieu frequented by Enriques periodically before he moved definitively to Bologna.

  91. 91.

    Gario (2010), Segre to Castelnuovo, 11 May 1897: Non può immaginare chi non le ha approfondite quante difficoltà s’incontrano nell’analisi delle singolarità superiori: lo sa quel Levi che da tanti mesi si occupa, ora di completare la mia dimostrazione della riducibilità delle singolarità per trasformazioni birazionali, ora di quella tal cosa che a te sarebbe occorsa sui punti generici delle linee multiple, ed ora del teorema che i caratteri s i , s ij , s ijk ,… sono in numero finito; e crede di tanto in tanto di aver risolta una questione e invece vengon fuori nuove difficoltà. Ora pare che abbia dimostrato bene quest’ultimo teorema (la dimostrazione del Kobb secondo Levi è sbagliata!).

  92. 92.

    In luogo di abbordare la questione diretta, dirò come sono riuscito per altra via a porre la definizione assolutamente generale delle curve aggiunte ad un sistema lineare (e quindi delle superficie aggiunte ad una data S 3 ) superando quindi indirettamente la difficoltà dello studio proiettivo delle singolarità delle superficie. The citations are from Enriques (1896) = (Enriques 1956, Vol. I, 216–217). In 1901 (see Enriques 1901–1902), he provided another construction of the adjoint system using the Jacobian system. In this article, nowever, the viewpoint is the modern one: the surface to be considered is a non-singular surface of a projective space of opportune dimension.

  93. 93.

    See notebook 14, Lezioni sulla teoria delle superficie razionali e dei sistemi lineari di curve piane, in Giacardi (2013).

  94. 94.

    See notebook 15, Introduzione alla geometria sopra una superficie algebrica, in Giacardi (2013). This was Segre’s first course on geometry on a surface. In the meantime the theory of linear systems of curves on algebraic surfaces had been placed on a firmer basis thanks to Castelnuovo and Enriques, in particular for what concerns the construction of the adjoint system, as already mentioned, and with regard to the question of the exceptional curves, with the introduction of the minimal model (see the aforementioned article (Enriques 1901–1902) and the article (Castelnuovo and Enriques 1901). Segre took this into account in his course, as can be seen from his notebook. References to these questions can also be found in Enriques’s letters to Castelnuovo. See Gario (1994).

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Authors and Affiliations

  1. Department of Mathematics “Federigo Enriques”, University of Milano, Milan, Italy

    Paola Gario

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  1. Paola Gario
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Correspondence to Paola Gario .

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Editors and Affiliations

  1. Dipartimento di Scienze Matematiche, Politecnico di Torino, Turin, Italy

    Gianfranco Casnati

  2. Accademia delle Scienze di Torino, Turin, Italy

    Alberto Conte

  3. Politecnico di Torino, Turin, Italy

    Letterio Gatto

  4. Dipartimento di Matematica, Università di Torino, Turin, Italy

    Livia Giacardi

  5. Dipartimento di Matematica, Università di Torino, Turin, Italy

    Marina Marchisio

  6. Dipartimento di Matematica, Università Roma Tre, Rome, Italy

    Alessandro Verra

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Gario, P. (2016). Segre, Castelnuovo, Enriques: Missing Links. In: Casnati, G., Conte, A., Gatto, L., Giacardi, L., Marchisio, M., Verra, A. (eds) From Classical to Modern Algebraic Geometry. Trends in the History of Science. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-32994-9_5

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