A Work on the Degree of Generality Revealed in the Organization of Enumerations: Poincaré’s Classification of Singular Points of Differential Equations

Abstract

This chapter attempts to bring to light and study an approach that emerges in Poincaré’s earliest writings on differential equations. In the course of this research, Poincaré chooses not to consider cases that he calls “more special,” by arguing that “they do not produce themselves if the polynomials [defining the differential equation being studied] are the most general of their degree.” I wish to show that one can read in this a sign of a reflection on the degree of generality of the studied phenomena. This reflection is linked with a deliberate choice by Poincaré to study what happens in most cases, rather than in all cases. It can be shown that this direction of his work toward the essential continues to manifest itself in his later works in celestial mechanics.

Appendices

Appendix 1

One will find here all quotations in their original language in order of appearance.

10.2 Text and context, from Briot and Bouquet (1856b, p. 133):

Les cas où l’on peut intégrer une équation différentielle sont extrêmement rares et doivent être regardés comme des exceptions. Mais on peut considérer une équation différentielle comme définissant une fonction, et se proposer d’étudier les propriétés de cette fonction sur l’équation différentielle elle-même.

10.2 Text and context, from Poincaré (1881, p. 3):

Malheureusement, il est évident que, dans la grande généralité des cas qui se présentent, on ne peut intégrer [les équations différentielles] à l’aide des fonctions déjà connues, par exemple à l’aide des fonctions définies par les quadratures. Si l’on voulait donc se restreindre aux cas que l’on peut étudier avec des intégrales définies ou indéfinies, le champ de nos recherches serait singulièrement diminué, et l’immense majorité des questions qui se présentent dans les applications demeureraient insolubles.

Il est donc nécessaire d’étudier les fonctions définies par des équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples.

10.2 Text and context, from Riemann (1854, pp. 246–247). cited by R. Chorlay:

Les travaux que nous avons signalés sur cette question avaient pour but de démontrer la série de Fourier pour les fonctions que l’on rencontre en Physique mathématique […]. Dans notre problème, la seule condition que nous imposerons aux fonctions, c’est de pouvoir être représentées par une série trigonométrique; nous chercherons donc les conditions nécessaires et suffisantes pour un tel mode de développement des fonctions. Tandis que les travaux antérieurs établissaient des propositions de ce genre: »si une fonction jouit de telle et telle propriété, elle peut être développée en série de Fourier«, nous nous proposerons la question inverse: »si une fonction est développable en une série de Fourier, que résulte-t-il de l sur la marche de cette fonction, sur la variation de sa valeur, quand l’argument varie de manière continue ?«

10.3.2 Singular points and the tools used for classifying them, from Poincaré (1881, p. 14):

Si l’équation

$$(a_1-\lambda)(b_2-\lambda)-b_1a_2=0$$

(10.2)

a deux racines différentes, $\lambda_1$ et $\lambda_2$;

Si le rapport de ces racines est positif ou imaginaire, l’intégrale générale de l’équation

$$\frac{dx}{X}=\frac{dy}{Y}$$

est de la forme

$$z_1^{\lambda_1} z_2^{\lambda_2} = \textrm{const}.,$$

où z ₁ et z ₂ sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de $x-\alpha$, $y-\beta$ et s’annulant pour

$$x=\alpha, \qquad y=\beta.$$

10.3.2 Singular points and the tools used for classifying them, footnote from Chasles (1880, p. 64):

Quand deux faisceaux dont les droites se correspondent une à une sont tels que quatre droites quelconques du premier aient leur rapport anharmonique égal celui des quatre droites correspondantes du second, nous dirons que les deux faisceaux sont homographiques.

10.3.2 Singular points and the tools used for classifying them, from Poincaré (1881, p. 14):

Donc la limite de la droite qui joint les points $(x,y)$ et $(\alpha,\beta)$ et la limite de la tangente à la caractéristique au point $(x,y)$ forment un faisceau homographique.

10.3.2

Singular points and the tools used for classifying them, from Poincaré (1881, p. 14):

Premier cas subordonné.—Les droites doubles du faisceau homographique sont réelles, et deux droites conjuguées quelconques du faisceau sont ou toutes deux dans l’angle aigu formé par les deux droites doubles, ou toutes deux dans l’angle obtus.

Dans ce cas, $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont réels et leur rapport est positif.

10.3.3.1 Singular points, from Poincaré (1880, p. 1):

On voit ainsi: $1^{\circ}$ que, par tous les points de la sphère, sauf par certains points singuliers, passe une caractéristique et une seule; $2^{\circ}$ que, par certains points singuliers, passent deux caractéristiques; $3^{\circ}$ que, par d’autres points singuliers, passent une infinité de caractéristiques; $4^{\circ}$ enfin, qu’une troisième sorte de points singuliers est telle, que les caractéristiques voisines tournent comme des spirales autour de ces points sans qu’aucune d’elles aille y passer. J’appelle ces trois sortes de points singuliers les cols, les nœuds et les foyers de l’équation donnée.

10.3.3.2 More special cases, which do not arise if X and Y are the most general polynomials of their degree, from Poincaré (1881, p. 17)

Ce cas est plus particulier que les précédents et il ne se présentera pas si ${X}$ et ${Y}$ sont les polynomes les plus généraux de leur degré. Bornons-nous donc à quelques remarques.

10.3.3.2 More special cases, which do not arise if X and Y are the most general polynomials of their degree, from Poincaré (1880, p. 2)

Les résultats qui sont rapportés dans ce résumé se rapportent au cas le plus général; mais j’ai dû examiner, dans le Mémoire, différents cas exceptionnels, sans pouvoir pourtant envisager tous ceux qui se présentent.

10.3.3.4 Singular points of the first and second kind, from Poincaré (1881, p. 18)

Les cinq cas précédents comprennent tous les points singuliers $\alpha,\beta$, tels que les deux courbes

$$\mathrm{X}=0, \qquad\mathrm{Y}=0$$

s’y coupent en un seul point et non en plusieurs points confondus. Ces points singuliers s’appelleront points singuliers de première espèce, et l’on a vu qu’il y avait quatre sortes de pareils points: les noeuds, les cols, les foyers et les centres.

10.3.3.4 Singular points of the first and second kind, from Poincaré (1881, pp. 18–19)

En effet, dire que $a_1=a_2=0,$ c’est dire que ${X}=0$ offre un point multiple en $(\alpha,\beta)$.

Dire que $b_1=b_2=0$, c’est dire que ${Y}=0$ offre un point multiple en $(\alpha,\beta)$.

Dire que $\lambda_1=0$, c’est dire que $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$, c’est-à-dire que les courbes ${X}=0$, ${Y}=0$ sont tangentes au point $(\alpha,\beta)$.

Appendix 2

Table 10.1 Organisation of Chapter II of Poincaré (1881)