Abstract
The present chapter concerns an argument which placed three authors in epistolary opposition: Johannes Kepler (1571–1630), Bonaventura Cavalieri (1598–1647) and Habakkuk Guldin (1577–1643, who later changed his first name to “Paul”). The dispute in question was started by Guldin in 1640, 10 years after Kepler’s death, upon the publication of Book II of the De centro gravitates, and continued a year later with Book 4. The fourth chapter of this book criticized some of the demonstrations of the Nova stereometria doliorum vinariorum, published by Kepler in 1615, and the fifth chapter criticized Cavalieri’s Geometria indivisibilibus (which came out in 1635, though at least six of the seven books that constitute it had been finished 6 years earlier). Cavalieri responded and counter-attacked, after Guldin’s death, in the third exercise, entitled In Guldinum, of the Exercitationes geometricae sex, published in 1647, a year which also marked his own death.
Translated from French by Véronique Descotes.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Guldin (1641), Liber quartus, de gloria, ab usu centri gravitatis binarum specierum quantitatis constitutae partis, sive Archimedis illustratus.
- 2.
Kepler (1615, pp. 551–646). A year later, Kepler published a German text entitled Außzug auß der uralten MesseKunst Archimedis und deroselben newlich in Latein auszgangener Ergentzung betreffend Rechnung der Cörperlichen Figuren holen Gefessen und Weinfässer sonderlich deß Oesterreichischen so under allen anderen den artigisten Schick hat, Linz, 1616. This text, which is different from the previous one, is more practice-oriented and does not include any demonstrations.
- 3.
Cavalieri (1635).
- 4.
See below, note 57.
- 5.
Cavalieri (1647).
- 6.
P. Radelet-de Grave, Kepler et la somme des distances, soon to be published.
- 7.
Kepler (1615, Pars 1, Theorema II).
- 8.
Qui vero viderit Com. De Motu Martis praefati Kepleri per has nostras speculationes planeintelliget, quam facile in dimensione plani ellipsis potuerit ipse hallucinari, dum omnium distantiarum Planete a Sole, per ellipticam lineam circumvoluti, mensuram putat aequipollere plani ellipsis mensurae (quod est quoddam simile errori, in quem initio praesentis speculations et ipsae Lapsus eram, putans coincidentia lineas, vel plana, proportionem planorum, seu solidorum, eandem conservare) licet postmodum et ipse errorem proprium detegat, et quomodo possit illum emendare contendat, Cavalieri (1635, end of the preface. n.p).
- 9.
Igitur initio eccentrum secui in partes CCCLX, quasi hae essent minimae particulae, et posui, quod intra unam hujusmodi partem distantia nihil mutetur. Distantias igitur ad initia partium seu graduum, methodo capitis XXIX investigavi, easque in unam summam conjeci. Postea tempori revolutorio, quamvis definitum esset CCCLXV diebus et VI horis, aliud et rotundum nomen posui, dixique illud valere gradus CCCLX, seu integrum circulum, qui est apud Astronomos anomalia media. Vt ergo summa distantiarum ad summam temporis, sic habere feci quamlibet distantiam ad suum tempus. Denique tempora per singulos gradus accumulavi : collastique his temporibus, seu gradibus anomaliae mediae cum gradibus anomaliae eccentri, seu cum numero partium, ad quas usque quaerebatur distantia, prodiit aequatio Physica; cui fuit adjungenda Optica, capitis XXIX methodo cum ipsis distantiisinventa, ut haberetur tota, Kepler (1609, p. 263). English translation Donahue, pp. 417–418.
- 10.
- 11.
Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 551).
- 12.
Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 555).
- 13.
See above, note 2.
- 14.
Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 601).
- 15.
Translated from Peyrard’s French translation of Archimedes, Dimensio circuli, pp. 118–123.
- 16.
Ad hoc demonstrandum usus est figuris circulo incriptis et circumscriptis; quae cum sit infinitae, nos facilitatis causa utemur sexangula, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 556).
- 17.
Common sense tells us that the container is always bigger than the content, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 556).
- 18.
Translated from Peyrard’s French translation of Archimedes, De sphaera et cylindro, p. 5.
- 19.
Guldin (1635–1641, Lib. IV, Cap. IV, p. 323). It is not permitted, in Geometry, to put too much faith in common sense.
- 20.
Circuli area, ad aream quadratam diametri comparata, rationem habet eam quam 11 ad 14 fere, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 557).
- 21.
Archimedes utitur demonstratione indirecta, quae ad impossibile ducit: de qua multi multa, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 557).
- 22.
Circuli BG circumferentia partes habet totidem, quod puncta, puta infinitas; quarum quaelibet consideratur vt basis alicuius trianguli aequicruri, cruribus AB: vti ita Triangula in area circuli infinita, omnia verticibus in centro A cocuntia. Extendatur igitur circumferentia circuli BG in rectum, et sit BC aequalis illi, et AB ad illam perpendicularis. Erunt igitur infinitorum illorum Triangulorum, seu Sectorum, bases imaginatae omnes in vna recta BC, juxta invicem ordinatae: sit vna talium basium BF quatulacunq, eique aequalis CE, conectantur autem puncta F, E, C, cum A. Quia igitur triangula ABF, AEC totidem sunt super recta BC, quot sectores in area circuli, et bases BF, EC aequales illis, et omnium communis altitudo BA, quae etiam est sectorum. Triangula igitur EAC, BAF erunt aequalia, et quodlibet aequabit vnum sectorem circuli et omnia simul in linea BC bases habentia, id est Triangulum BAC, ex omnibus illis constans, aequabit sectores circuli omnes, id est aream circuli ex omnibus constantem. Hoc sibi vult illa Archimedea ad impossibilie deduction, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, pp. 557–558) and Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. IV, p. 324).
- 23.
Dicit ergo Keplerus, sibi videri hunc esse sensum demostrationis Archimedea: Sed videturtantum; non enim est. Item : Hoc vult illa Archimedea ad impossibile deductio: Vult quidemArchimedea demonstratio idem concludere, sed non per talia media, quibus Keplerus suadeducit: quae est nova demonstrandi, Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. IV, p. 324).
- 24.
Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. IV, p. 325).
- 25.
- 26.
Quod vero subiungit Cylindrum et columna esse veluti quaedam plana corporata, quamvis autem nimis breviter dictum sit hoc pro viris Archimedeis et Euclideis, hinc tamen Cavalerius post plures speculationes, et cum paulò profundius rem contemplatus effet, in hanc tandem devenit sententiam, nempe ad rem suam lineas, et plana, non ad invicem coincidentia, ut fecit Keplerus Propos. 2; sed aequidistantia assumenda esse, quemadmodum hic, ubi per plana parallela basi progreditur Keplerus, Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. IV, p. 325).
- 27.
Hic denuo arguit Guldinus me desumpsisse ex Keplero meam Methodum Ind. per plana corporata interpretans plana basi parallela, Cavalieri (1647, Exercitatio III, p. 192).
- 28.
Corpus cylindri est ad corpus sphaerae, quam stringit, in proportione sesquialtera, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 563).
- 29.
“Book 3, in which is given the doctrine of the circles, of the ellipses and of the solids they create.”
- 30.
Cavalieri (1635, p. 78).
- 31.
Kepler (1615, ed. Frisch, Vol. 4, p. 582).
- 32.
Montucla (1799, vol. 1, pp. 31–42).
- 33.
Regula autem generalis Compositionis Potestatum Rotundarum cuiuscunque gradus haec est: Quantitas rotanda in viam rotationis ducta, producit Potestatem Rotundam uno gradu altiorem, Potestate sive Quantitate rotate, Guldin (1635–1641, Lib. II, p. 147).
- 34.
Via rotationis est circumferentia circuli, quam in rotatione describit Centrum gravitatis quantitatis rotatae, Guldin (1635–1641, Lib. II, p. 144).
- 35.
Annulo enim GCD, sed integro, ex centro spatii A secto in orbiculos infinitos ED eosque minimos, quilibet eorum tanto erit tenuior versus centrum A, quanto pars ejus, ut E, fuerit proprior centro A, quam est F et recta per F, ipsi ED perpendicularis in plano sécante, tanto etiam crassior versus exteriora D ; extremis vero dictis, scilicet D, E simul sumtis, duplum sumitur ejus crassitiei, quae est in orbiculorum medio, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 583).
- 36.
Translator’s note: the original French word is l’onglet.
- 37.
Zona mali componitur ex zona globi et segmento recto cylindri, cujus segmenti basis est segmentum, quod deficit in figura, quae gignit malum, altitudo vero aequalis circulo, quem centrum segmenti majoris describit, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 584).
- 38.
There is a mistake in Frisch’s edition: he writes FD instead of AD. FD is the radius of the base of the cylinder, or of the circle rotated to form the apple, while AD is the radius of the maximum circle of the apple. We can see this clearly in the figure on the left, which uses the same notations. The original 1615 text is correct, as is the German translation by Klug, Neue stereometrie der Fässer, Ostwalds Klassiker Nr. 165, p. 21.
- 39.
It is DS which generates the cylinder, and which was given the length of the maximum circle.
- 40.
Demonstratio. Explicetur corpus mali iisdem legibus in cylindricum segmentum, quibus Archimedes theor. II. explicavit circuli aream in triangulum rectangulum; et sit AD semidiameter circuli maximi in corpore mali, ex cujus puncto D erigatur DS, ejus circuli maximi longitudo in rectam extensa, quae concipiatur in superficie cylindrica. Nam linea MN est veluti communis acies, ad quam terminantur omnia segmenta solida circularia. Extensa vero maximi circuli circumferentia in rectam DS, segmenta illa solida circularia simul extenduntur et fiunt elliptica MSN, praeterquam primum MDN. Sed clarius elucescet vis hujus transformationis in sequentibus, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 584).
- 41.
Read “from all the points”.
- 42.
Secetur area MDN lineis parallelis ipsi MN in aliquot segmenta aequelata minima, quasi linearia, et connectantur A, S puncta, et in lineam AS ex AD diametri punctis, per sections areae factis, ducantur perpendiculares FG, OL ; sit autem F centrum, et quae ex F perpendicularis, secet AS in G, et per G ducatur ipsi FD parallela GT. Sit denique O punctum medium sectionis IK, et ex illo perpendicularis OL, secans AS in L, et per L ducatur ipsi OD parallela LR, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 584).
- 43.
This word is surprising in the original too, since it can only be understood in the sense of a close-fitting shirt. One could perhaps superimpose them like onion skins.
- 44.
Different versions and translations indicate Theorems 16, 17 and 18 here. Only the latter seems to make sense in our opinion, but it is not the theorem cited in the original.
- 45.
Klug translates this as “rectangles”, which makes comprehension easier, but is not technically what the text says.
- 46.
Cum igitur figura circa MN circumagitur, nihil fere creat areola MN, quia minimum movetur; at ejus parallela per F jam movetur in circulum, longitudine FG, linea per O in circulum longitudine OL et sic omnes : et partes corporis cylindracei, per FG, OL signatae, sunt aequales cylindraceis illis veluti tunicis in malo, quas gignunt lineae in circumactu figurae MDN circa MN, per XVII theorema. Tota igitur figura, scilicet cylindri prisma MNDS, constans ex omnium tunicarum corporibus in rectum extensis, aequalis est toti corpori mali ex tunicis constant, Kepler (1615, ed. Frisch, vol. 4, p. 584).
- 47.
Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. IV, pp. 324–325).
- 48.
Van Lansberg (1616).
- 49.
Anderson (1616, p. 3). “What man can understand this kind of transformation?”.
- 50.
Cavalieri (1635, Book 3, p. 99).
- 51.
- 52.
Faccia la linea ak qualunque angolo con la af, e per li punti c, d, e, f siano tirate le parallèle cg, dh, ei, fk : e perchè le linee fk, ei, dh, cg sono tra di loro come le fa, ea, da, ca, adunque le velocità ne i punti f, e, d, c sono come le linee fk, ei, dh, cg. Vanno dunque continuatamente crescendo i gradi di velocità in tutti i punti della linea af secondo l’incremento delle parallele tirate da tutti i medesimi punti. In oltre, perchè la velocità con la quale il mobile è venuto da a in d è composta di tutti i gradi di velocità con che ha passata la linea ac è composta di tutti i gradi di velocità che ha auti in tutti i punti della linea ac, adunque la velocità con che ha passata la linea ad, alla velocità con che ha passata la linea ac, ha quella proporzione che hanno tutte le linee parallele tirate da tutti i punti della linea ad sino alla ah, a tutte le parallele tirate da tutti i punti della linea ac sino alla ag; e questa proporzione è quella che ha il triangolo adh al triangolo acg, ciò è il quadrato ad al quadrato ac. Adunque la velocità con che si è passata la linea ad, alla velocità con che si è passata la linea ac, ha doppia proporzione di quella che ha da a ca, Galileo (1605, Opere, E. N. Vol. VIII, pp. 373–374).
- 53.
Sover (1630).
- 54.
Hic ergo Cavalerius secutus tam Bartholomaum Soverum, qui Libro quinto de Curvi ac Rectiproportione promota, parallelarum ac figurarum analogarum virtutes ac proprietates tradit,quam Keplerum, qui per infinita plana et corpora minutißima, maiora componit (si quidemcomponit) ut videbimus Libro 4, Guldin (1635–1641, Lib. II, ad Lectorem, p. 4).
- 55.
Nel bel principio, che tutte le linee di due figure piane e tutte le superficie di due figure solidehabino proportione, il che parmi facile da dimostrare; perchè, multiplicando l’una delle dette figure, si multiplicano anco tutte le linee nelle piane e tutte le superficie nelle solide, si che tuttele linee d’una figura, overo superficie, possono, cresciute, avanzare tutte le linee, o superficie,dell’altre, e cosi sarano ancor esse fra le grandezze ch’hanno porportione. Come io pigli poiquesto termine (tutte le linee d’una figure piana, o tutte le superficie d’un solido) lo dichiaro inesso trattato, 1622, Cavalieri, Letter to Galileo Galilei of the 22nd of March 1622, in Galileo, Opere, E. N. Vol. XIII, pp. 86–87.
- 56.
Giusti (1980a, pp. 61–62).
- 57.
This passage was quoted at the beginning of the article.
- 58.
- 59.
Prima totius Operis ac proinde Primi Libri Propositio, qua statim in vestibulo Operis sibi ipsimet tanquam Geometriae iniuriam facit, & quasi Ageometra esset, Guldin (1635–1641, Lib. II, p. 8).
- 60.
Baron (1969, pp. 122–135).
- 61.
Quamlibet rectam lineam indefinite ita posse moveri, vt semper vni cuidam fixae sit parallela,siue in eodem, siue in pluribus planis, in tali motu existat.
Quodlibet planum indéfinitè ita posse moueri, vt semper vni cuidam fixo fit aequidistans, Cavalieri (1635, Lib. I, p. 18).
- 62.
Cuiuslibet propositae figurae planae, vel solidae, verticem invenire, respectu datae, pro figuraplana rectae lineae; pro solida verò, respectu dati plani, Cavalieri (1635, Lib. I, p. 19).
- 63.
“In which we see the Author analyze the main founding principles, or better, all the founding principles of A NEW DOCTRINE”, Guldin (1635–1641, p. 340).
- 64.
The text of these definitions can be found in Chap. 3, pp. 34, 35, 40, 43.
- 65.
Guldin (1635–1641, Lib. IV, cap. V propos. I, p. 340). The definition is of the same “flour” (i.e. substance).
- 66.
Verum has tres definitiones nullus admittere potest Geometra, et multo minus Corollaria, quae definitionibus annectuntur : Verbo sese expedit Geometra, et dicit, punctum, lineam, planum, in motu semper esse in maiori loco se, quod etiam Philosophi concedunt, de omnibus mobilibus, et sic punctum post se non relinquit punctum sed lineam; linea, superficiem; superficies, solidum. Ab hoc verò ut solido Geometrarum fundamento nulla unquam me dimovebit Methodus, neque divisibilium neque Indivisibilium, Guldin (1635–1641, Lib. IV, cap. V propos. I, p. 341).
- 67.
Giusti (1980a, pp. 64–65).
- 68.
Quarumlibet planarum figurarum omnes lineae recti transitus; et quarumlibet solidarum omnia plana, sunt magnitudines inter se rationem habentes, Cavalieri (1635, Lib. II, p. 13).
- 69.
Haec Propositio absolute negatur; et hoc oppono argumentum; Omnes lineae et omnia plana, unius et alterius figurae sunt infinitae et infinita; sed infiniti ad infinitum nulla est proportio sive ratio. Ergo Conclusio Cavalerianae Propositionis falfa est, Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. V, p. 341).
- 70.
- 71.
Respondeo continuum esse divisibile in infinitum, non autem constare partibus infinitis actu, sed tantum in potentia quae nunquam exhauriri possit ; partes autem illae inter indivisibilia comprehensae non sunt, nisi ipsa assignentur indivisibilia. Ita ut si assignetur in figura plana una linea, perimetrum figurae utroque termino suo attingens vel secans, dividet illa continuum in duas partes; quae duae partes et componunt suum totum, et comparare possunt, cum alijs partibus sive huius sive alterius figurae, sive duabus, sive tribus, sive pluribus, per alias lineas assignatis, quae etiam simul sumptae componant suum totum : quia partes tam huius, quam alterius figurae multiplicari possunt, ita ut hae illas superent, et contra illae has, quod idem de lineis assignatis, et simul quo ad longitudinem sumptis dictum volo; ac proinde ex definitione quinta quinti Elementorum dicuntur habere inter se rationem. Et sic si sumatur aliqua congeries, sive linearum sive partium planae alicuius superficiei, erit illa finita et inter se rationem habebunt, lineae nimirum cum lineis, et partes cum partibus ; non autem lineae cum partibus. Quare cumnon detur nec dari possit Congeries omnium linearum, aut omnium partium possibilium, ergo nec proportionem inter se habere possunt, neque lineae cum lineis, neque partes cum partibus: quae enim non sunt, nec ullo modo esse possunt, comparatione non admittunt, Guldin (1635–1641, Lib. IV Cap. V, Prop. II num. 4, pp. 342–344).
- 72.
The text of these propositions can be found in Chap. 3, pp. 35–36.
- 73.
The text of this proposition can be found in Chap. 3, p. 53.
- 74.
Giusti (1980a, pp. 63–64).
- 75.
Pluribus enim in locis et Archimedes, et plures alij puriori Geometriae addicti, demonstrant propositae figurae inscribi posse et circumscribi alias figuras, ita ut circumscripta figura excedat inscriptam magnitudine, quae minor sit quacunque eiusdem generis magnitudine proposita. Ergo concludunt circumscriptam magnitudinem aequalem esse inscriptae? Neutiquam ; sed alio adhibito medio termino demonstrant figuram illam, cui circumscriptio et inscriptio facta est, aequalem esse cuidam alteri, quae minor quidem sit circumscripta, maior autem inscripta, Guldin (1635–1641, Lib. IV, Cap. V, Prop. IV, p. 346).
- 76.
Giusti (1980a, pp. 62–63).
- 77.
Cavalieri (1647, Chap. XIV, p. 230).
- 78.
Si figura plana super aliqua sui recta linea figuram ipsam secante libretur, erunt momenta segmentorum figura, ut sunt solida rotunda ab ipsis segmentis, circa secantem lineam revolutis, descripta, Cavalieri (1647, Exercise III, in Guldinum, p. 230). I was sadly unable to verify the source, since I was unable to find Giannantonio Rocca’s work.
- 79.
Torricelli (1644, De dimensione parabola, Probleme I, p. 77).
- 80.
- 81.
Cantor (1901, p. 834).
References
1605, Galilei, Galileo, « Fragments pour la lettre à Sarpi », Opere di Galileo, Ed. Naz, vol. 8, pp. 371–377.
1609, Kepler Johannes, Astronomia nova, seu Physica Coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychonis Brahe a Joanne Keplero; jussu et sumptibus Rudolphi II romanorum imperatoris…, Heidelberg, G. Voegelinus, 1609 ; Kepler, Gesammelte Werke, ed. Max Caspar, Vol. III; ed. Frisch, vol. 4; English translation William H. Donahue, Johannes Kepler New Astronomy, Cambridge University Press, 1992.
1615, Kepler Johannes, Nova stereometria doliorum vinariorum in primis Austriaci, figurae omnium aptissimae et usus in eo virguae cubicae compendiosissimus et plane singularis. Accessit stereometriae archimedeae supplementum, Authore Ioanne Kepplero, Imp. Caes. Matthiae I. eiusq; fidd. Ordd. Austriae supra Anasum Mathematico. Cum privilegio Caesareo ad annos XV. Anno M.DC.XV. Lincii Excudebat Ioannes Plancus, sumptibus Authoris. Linz, Plancus, 1615 ; Opera Omnia, Vol. IV, pp. 545–646 ; Gesammelte Werke, Vol. IX, München 1943. English trans. by William H. Donahue, Johannes Kepler New Astronomy, Cambridge University Press, 1992.
1616, Anderson, Alexander, Vindiciae Archimedis, sive elenchus cyclometriae novae, a Philippo Lansbergio, Paris, Laquehay, 1616.
1616, van Lansberg de Meulebeek, Philip, Cyclometria nova : libri duo, Middelburg, Schilders, 1616.
1630, Sover, Bartholomeo, Curvi ac recti proportio, a Bartolomaeo Sovero Friburgensi. In Gymnasio Patavino Matheseos Professore promota. Libri sex ad Illustriss. & Excellentiss. Viros Nicolam Contarenum, Iohannem Baptistaa Nani, Dominnicum Molinum eiusdem Gymnasii Patavini moderators. Patavii, Ex Typographia Varisci Varisci. MDCXXX. Superiorum permissu, Padoue, Varisci Varisci, 1630.
1635, Cavalieri, Bonaventura, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova quadam ratione promota, Authore P. Bonaventura Cavalerio Mediolan. Ordinis Iesuatorum S. Hieronymi. D. M. Mascarellae Pr. Ac in Almo Bonon. Gymn. Prim. Mathematicarum Professore. Ad Illustriss. Et Reverendiss. D. D. Ioannem Ciampolum. Bononiae, Typis Clementis Ferronij. M. DC. XXXV. Superiorum permissu, Bologne, Gio. Battista Ferroni, 1635.
1635–1641, Guldin, Paul (Habakuk), De centro gravitatis trium specierum quantitatis continue, Vienne, Gregorius Gelbhaar, 1635–1641.
1638, Galileo, Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali, Leide, Elzevier 1638, Opere di Galileo Ed. Naz., t. VIII ; French translation with introduction, notes, index and comments by Maurice Clavelin, Armand Colin, Paris, 1970, reed. PUF, 1995 ; English translation by Stillman Drake, The University of Wisconsin Press, 1974.
1644, Torricelli, Evangelista, « De Solids Spheralibus; De Motu; De Dimensione Parabolae; De solido Hyperbolico; Cum Appendicibus de Cycloide, & Coclea in Opera geometrica, 1644 and in Opere, Vol. I, Parte I.
1647, Cavalieri, Bonaventura, Exercitationes geometricae sex. 1. De priori methodo Indivisibilium. II. De posteriori methodo Indivisibilium. III. In Paulum Guldinum e Societate Jesu dicta Indivisibilia oppugnantem. IV. De usu eorumdem Ind. in Potestatibus Cossicis. V. De usu dictorum Ind. in unif. diffor. gravibus. VI. De quibusdam Propositionibus miscellaneis, quarum, synopsim versa pagina ostendit. Auctore F. Bonaventura Cavaledo Mediolanensi Ordinis Iesuatorum. S. Hyeronimi Priore, et in Almo Bononiensi Archigymnasio primario Mathematicarum Professore. Ad Illustrissimos, et sapientiss. Senatus Bononiensis quinquaginta Viros, Bononiae, Typis Iacobi Montji. MDCXLVII. Superiorum permissu, Bologne, Jacobi Monti, 1647.
Baron, Margaret E. (1969), The Origins of infinitesimal Calculus, Oxford, Pergamon Press, 1969.
Cantor, Moritz (1901), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Leipzig, B. G. Teubner, zweiten Auflage, 1894–1901, 4 vol.
Giusti, Enrico (1980), Bonaventura Cavalieri and the theory of indivisibles, Bologna, Edizioni Cremonese, 1980.
Miller, G. A. (1926), « Was Paul Guldin a Plagiarist ? » in Science 64 (1926) pp. 204–206.
(1799), a second edition largely extended Paris, Agasse, 1799 ; reprint. Paris, Blanchard, 1960, 4 vol.
Ulivi, Elisabetta (1982), « Il theorema di Pappo-Guldino, Dimostrazioni e attribuzioni », in Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche, 2/2 (1982) pp. 179–209.
Ver Eecke, Paul (1932), « Le théorème dit de Guldin considéré au point de vue historique » in Mathesis, 46 (1932) pp. 395–397.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2015 Springer International Publishing Switzerland
About this chapter
Cite this chapter
Radelet-de Grave, P. (2015). Kepler, Cavalieri, Guldin. Polemics with the Departed. In: Jullien, V. (eds) Seventeenth-Century Indivisibles Revisited. Science Networks. Historical Studies, vol 49. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-00131-9_4
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-00131-9_4
Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-319-00130-2
Online ISBN: 978-3-319-00131-9
eBook Packages: Mathematics and StatisticsMathematics and Statistics (R0)