Advertisement

Quelques Aspects Diophantiens des VariéTés Toriques Projectives

  • Patrice Philippon
  • Martín Sombra
Conference paper
Part of the Developments in Mathematics book series (DEVM, volume 16)

Abstrait

Les variétés toriques jouent un rôle important au carrefour de l’algèbre, la géométrie et la combinatoire. Elles constituent une classe de variétés suffisamment rigide pour que beaucoup des invariants s’explicitent en termes combinatoires, et en même temps suffisamment riche pour permettre de tester et illustrer diverses conjectures et théories abstraites. Elle trouve application dans de nombreuses branches des mathématiques : géométrie algébrique bien sûr, algèbre commutative, combinatoire, calcul formel, géométries symplectique et kählerienne, topologie et physique mathématique, voir par exemple [Ful93], [GKZ94], [Stu96], [Cox01], [Aud91], [Don02].

Mots clefs

Variété torique hauteur normalisée multihauteurs fonction de Hilbert arithmétique poids de Chow volume mixte indice d’obstruction minimums successifs 

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Références

  1. [AD03]
    Amoroso, F., David, S.: Minoration de la hauteur normalisée dans un tore. J. Inst. Math. Jussieu 2, 335–381 (2003)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  2. [AD04]
    Amoroso, F., David, S.: Distribution des points de petite hauteur dans les groupes multiplicatifs. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. V Ser. 3, 325–348 (2004)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  3. [Aud91]
    Audin, M.: The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, vol. 93. Birkhäuser, Basel (1991)Google Scholar
  4. [Ber87]
    Bertrand, D.: Lemmes de zéros et nombres transcendants. Sémin. Bourbaki 1985/86, Astérisque 145-146, 21–44 (1987)MathSciNetGoogle Scholar
  5. [BP88]
    Bertrand, D., Philippon, P.: Sous-groupes algébriques de groupes algébriques commutatifs. Ill. J. Math. 32, 263–280 (1988)Google Scholar
  6. [Cha89]
    Chardin, M.: Une majoration de la fonction de Hilbert et ses conséquences pour l’interpolation algébrique.Bull. Soc. Math. Fr. 117, 305–318 (1989)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  7. [CP99]
    Chardin, M., Philippon, P.: Régularité et interpolation. J. Algebr. Geom. 8, 471–481 (1999)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  8. [Cox01]
    Cox, D.: Minicourse on toric varieties, notes d’un cours donné à l’université de Buenos Aires en Juillet 2001. Téléchargeable à http://www.amherst.edu/~dacox/Google Scholar
  9. [CLO98]
    Cox, D., Little, J., O’Shea, D.: Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer, Heidelberg (1998)Google Scholar
  10. [DP99]
    David, S., Philippon, P.: Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci IV Ser. 28, 489–543 (1999)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  11. [Don02]
    Donaldson, S.K.: Scalar curvature and stability of toric varieties. J. Differ. Geom. 62, 289–349 (2002)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  12. [ES96]
    Eisenbud, D., Sturmfels, B.: Binomial ideals. Duke Math. J. 84, 1–45 (1996)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  13. [EF02]
    Evertse, J.-H., Ferretti, R.G.: Diophantine inequalities on projective varieties. Int. Math. Res. Not. 25, 1295–1330 (2002)CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  14. [Ewa96]
    Ewald, G.: Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, vol. 168. Springer, Heidelberg (1996)Google Scholar
  15. [Fer03]
    Ferretti, R.G.: Diophantine approximation and toric deformations. Duke Math. J. 118, 493–522(2003)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  16. [Ful84]
    Fulton, W.: Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematic und ihrer Grenzgebiete, 3e Serie, vol. 2. Springer, Heidelberg (1984)Google Scholar
  17. [Ful93]
    Fulton, W.: Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematical Studies, vol. 131. Princeton University Press, Princeton, N.J. (1993)Google Scholar
  18. [GKZ94]
    Gelfand, I.M., Kapranov, M.M., Zelevinsky, A.V.: Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants. Birkhäuser, Basel (1994)Google Scholar
  19. [KSZ92]
    Kapranov, M.M., Sturmfels, B., Zelevinsky, A.V.: Chow polytopes and general resultants. Duke Math. J. 67, 189–218 (1992)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  20. [Mum77]
    Mumford, D.: Stability of projective varieties. Enseign. Math. II. Sér 23, 39–110 (1977)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  21. [Phi91]
    Philippon, P.: Sur des hauteurs alternatives, I. Math. Ann. 289, 255–283 (1991)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  22. [PS04]
    Philippon, P., Sombra, M.: Hauteur normalisée des variétés toriques projectives, J. Inst. Math. Jussieu. 7, 327–378 (2008)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  23. [PS05]
    Philippon, P., Sombra, M.: Géométrie diophantienne et variétés toriques. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 340, 507–512 (2005)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  24. [PS06]
    Philippon, P., Sombra, M.: Minimum essentiel et degrés d’obstruction des translatés de soustores. Acta Arith. (à paraître)Google Scholar
  25. [Rat04]
    Ratazzi, N.: Minoration de la hauteur de Néron-Tate pour les points et les sous-variétés: variations sur le problème de Lehmer. Thèse de doctorat, Université de Paris VI, Paris (2004)Google Scholar
  26. [Rem01a]
    Rémond, G.: Élimination multihomogène. In: Nesterenko, Yu. V., Philippon, P. (eds.) Introduction to Algebraic Independence Theory. Lect. Notes Math., vol. 1752, pp. 53–81. Springer, Heidelberg (2001)Google Scholar
  27. [Rem01b]
    Rémond, G.: Géométrie diophantienne multiprojective. In: Nesterenko, Yu. V., Philippon, P. (eds.) Introduction to Algebraic Independence Theory. Lect. Notes Math., vol. 1752, pp. 95–131. Springer, Heidelberg (2001)Google Scholar
  28. [Sch91]
    Schmidt, W.M.: Diophantine Approximation and Diophantine Equations. Lect. Notes Math., vol. 1467. Springer, Heidelberg (1991)Google Scholar
  29. [Som05]
    Sombra, M.: Minimums successifs des variétés toriques projectives. J. Reine Angew. Math. 586, 207–233 (2005)zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  30. [Stu94]
    Sturmfels, B.: On the Newton polytope of the resultant. J. Algebr. Comb. 3, 207–236 (1994)zbMATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  31. [Stu96]
    Sturmfels, B.: Gröbner bases and convex polytopes. Am. Math. Soc. (1996)Google Scholar
  32. [Zha95]
    Zhang, S.-W.: Positive line bundles on arithmetic varieties. J. Am. Math. Soc. 8, 187–221 (1995)CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 2008

Authors and Affiliations

  • Patrice Philippon
    • 1
  • Martín Sombra
    • 2
  1. 1.Projet Géométrie et DynamiqueInstitut de Mathématiques de JussieuParis Cedex 05France
  2. 2.Departament d’Àlgebra i GeometriaUniversitat de BarcelonaBarcelonaEspagne

Personalised recommendations