Numerische Methoden

Zusammenfassung

Wie schon in Kapitel 1.1 (Abb. 1.2) und Kapitel 2 bemerkt, bilden die Bilanzgleichungen für Masse, Impuls, Energie, Stoffe und Phasen und die konstitutiven Gleichungen bzw. Modelle für Warme- und Stofftransport, Stoff- und Phasenumwandlung, Turbulenz und Stoffwertedaten ein gekoppeltes System nichtlinearer, partieller Differentialgleichungen (PDG), dessen Komplexität (Anzahl der Gleichungen) von dem zu modellierenden Problem und der erwarteten Detaillierung der Ergebnisse abhängt. Solche PDG sind nur dann lösbar, wenn die richtigen Rand- und Anfangswerte gegeben sind, was auch von kommerziellen Programmen nicht in allen Fällen überprüft und erkannt wird. Das Problem ist dann korrekt gestellt (well-posed). Analytische Lösungen gibt es nur für stark vereinfachte Problemstellungen; im Allg. ist nur eine numerische Lösung möglich (van Kan 1995), (Steinrück 2000). Wie in Kapitel 2 Gl. (2.14) und Gl. (2.15) bereits erwähnt, lautet die allgemeine Bilanzgleichung in Vektorschreibweise

$$ \frac{{\partial \rho \varphi }} {{\partial \tau }} = - div\mathop {\overrightarrow J }\limits^. \varphi + div\left( {\Gamma _\varphi grad\varphi } \right) + S_\varphi $$

(3.1)

oder in Tensorschreibweise

$$ \frac{{\partial \rho \varphi }} {{\partial \tau }} = - \frac{{\partial \rho w_i \varphi }} {{\partial x_i }} + \frac{\partial } {{\partial x_i }}\Gamma _\varphi \frac{{\partial \varphi }} {{\partial x_i }} + S_\varphi $$

(3.2)