Die reellen Zahlen

Zusammenfassung

Die reellen Zahlen bilden das Fundament der Analysis. Das erste Kapitel soll über sie, und ebenfalls über die komplexen Zahlen, prinzipielle Klarheit schaffen und die Grundkenntnisse präzisieren. Wir werden nur die natürlichen Zahlen 1, 2, 3,… und deren elementare Struktur als bekannt voraussetzen. Es ist keinesfalls evident, wie man die reellen Zahlen präzise einführen könnte oder sollte. Es kommen einem etwa die unendlichen Dezimalbrüche in den Sinn, oder die Punkte einer Geraden, oder andere naive Ideen, die man zu präzisieren hätte. Das sicherste Fundament, so scheint es, wäre die explizite Konstruktion der reellen Zahlen von den natürlichen Zahlen aus. Wir werden das hier aber nicht tun — einmal, weil eine solche Konstruktion zwar nicht schwer, aber doch kompliziert und zeitraubend ist, so daß der Student in diesem Stadium seiner Kenntnisse vor technischen Details kaum den roten Faden erkennen könnte, und zum anderen, weil eine explizite Konstruktion der reellen Zahlen für den Aufbau der Analysis durchaus entbehrlich ist. Es kommt nicht darauf an, was die reellen Zahlen laut einer speziellen Konstruktion sind, und erst recht nicht darauf, was sie in einem metaphysischen Sinne sind, sondern wesentlich ist allein, was man mit ihnen machen kann, das heißt, welche Operationen und Relationen im Bereich der reellen Zahlen existieren und welche Gesetze hierfür bestehen. Das ist die Grundidee der axiomatischen Methode, nach der wir hier verfahren werden. Wir werden die reellen Zahlen axiomatisch definieren als eine Gesamtheit von Objekten, auf der bestimmte Operationen und Relationen erklärt sind, welche bestimmte Gesetze erfüllen.