Arbres et Grandes Déviations

Abstract

On the vertices of a tree A we dispose real and iid random variables. We study the maximum $\mathop S\nolimits_n^*$ of the sums of those variables encountered on the length n branches of A. We introduce the entropie number e(A) of A. If Λ denotes the large deviations function of the basic law, we show that $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {{\mathop S\nolimits_n^* } \over n} \le ^{\mathop \Lambda \nolimits^{ - 1} } \left[ {\log \left( {e\left( A \right)} \right)} \right]$, with equality in the gaussian case.

Résumé

Sur les sommets d’un arbre A sont disposées des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi. Nous étudions les maxima$\mathop S\nolimits_n^*$ des sommes de ces variables rencontrées sur les branches de longueur n de A. Nous définissons le taux entropique e(A) de A, et si Λ désigne la fonction de grandes déviations de la variable aléatoire de base, nous prouvons que $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {{\mathop S\nolimits_n^* } \over n} \le ^{\mathop \Lambda \nolimits^{ - 1} } \left[ {\log \left( {e\left( A \right)} \right)} \right]$, avec égalité dans le cas gaussien.