Asymptotic analysis of nonlinear thin layers

Résumé

On étudie le comportement asymptotique, lorsque ε tend vers 0, de la solution u ^ε d’un problème couplant une équation linéaire elliptique du second ordre posée dans deux domaines de ℝ³, séparés par un cylindre d’épaisseur 2ε dans lequel une équation quasi-linéaire est posée. Ce comportement asymptotique sera établi à l’aide des méthodes d’épi-convergence. On montre en effet que u ^ε est solution d’un problème de minimisation. L’épi-convergence des fonctionnelles est alors prouvée en construisant des fonctions-test adaptées et en utilisant des inégalités sous-différentielles.

Abstract

We study the asymptotic behaviour, when ε goes to 0, of the solution u ^ε of a problem coupling a linear second order elliptic equation posed in two domains of ℝ³, bonded together by a cylindrical film of thickness 2ε, in which a quasilinear equation is posed. This asymptotic behaviour is obtained by means of epi-convergence arguments. Indeed, we prove that u ^ε is the solution of a minimization problem. The epi-convergence of the linked functionals is proved building appropriate test-functions and using subdifferential inequalities.