Die reelle Ebene

Zusammenfassung

Ziel dieses letzten Kapitels dieses Buches ist, eine Kennzeichnung der affinen Ebene über dem Körper der reellen Zahlen zu erhalten. Dabei stellte sich bei den Vorbereitungen dieses Buches heraus, daß keine der Charakterisierungen, die ich in der Literatur fand, in den Rahmen dieses Buches paßte. Ich habe mir daher eine weitere Charakterisierung überlegt, deren präzise Formulierung Sie in Satz 4.3 finden. Dabei kommt man mit erstaunlich wenig an Voraussetzungen aus, die darüberhinaus, wie ich glaube, durch die Erfahrungen an der Elementargeometrie gut motiviert sind. Man braucht nämlich nur, daß die affine Ebene A eine Mittelpunktsrelation besitzt, daß man also anschaulich gesprochen Strecken halbieren kann, daß man ferner entscheiden kann, wann ein Punkt zwischen zwei anderen liegt, und daß diejenigen Intervallschachtelungen, die man durch fortgesetztes Halbieren gewinnt, genau einen Punkt definieren, um sicherzustellen, daß A die affine Ebene über R ist. Bei der Vorbereitung des Beweises dieses Satzes, der nicht ganz einfach ist, werden wir noch eine Reihe weiterer interessanter Ergebnisse kennenlernen und unter anderem die desarguesschen affinen Ebenen geometrisch kennzeichnen, deren Koordinatenkörper eine Anordnung gestatten.