Teilverhältnisse und Orthogonalität in affinen Ebenen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel bringt uns ein großes Stück in unserem Verständnis der gewöhnlichen euklidischen Geometrie voran. Teilverhältnisse und Orthogonalitätrelationen affiner Ebenen werden abstrakt formuliert und es wird untersucht, was sie für die betrachteten Ebenen beinhalten. Dabei werden wir so interesssante Phänomene beobachten wie, daß die Existenz eines Teilverhältnisses die Transitivität der Translationsgruppe nach sich zieht und daß der Höhenschnittpunktsatz in Translationsebenen mit von 2 verschiedener Charakteristik den Satz von Pappos impliziert. Dies sind die spektakulärsten Ergebnisse, die wir erzielen. Interessant und von weittragender Konsequenz auch, daß die uneingeschränkte Möglichkeit des Winkelhalbierens gleichbedeutend damit ist, daß der Koordinatenkörper pythagoräisch ist. Sieht man davon ab, daß wir häufig Ebenen der Charakteristik 2 aus unseren Betrachtungen ausgeschlossen haben, was meist der Bequemlichkeit halber geschah, so begegnen wir hier zum ersten Mal einer Eigenschaft papposscher Ebenen, die ganz einschneidende Konsequenzen hat. Im nächsten Kapitel werden wir ein ähnliches Phänomen beobachten, daß nämlich gewisse, sehr anschauliche geometrische Bedingungen an einen Kegelschnitt erzwingen, daß der Koordinatenkörper euklidisch ist. Mit diesen Resultaten als Kulisse werden wir dann im letzten Kapitel erneut ansetzen, um schließlich die reelle affine Ebene zu kennzeichnen.