Advertisement

Accelerating Multiple Shooting for State-Constrained Trajectory Optimization Problems

  • Kurt Chudej
Part of the International Series of Numerical Mathematics book series (ISNM, volume 124)

Abstract

Multiple shooting is an indirect solution method for complicated optimal control problems. It yields precise numerical solutions. The rate of convergence is usually quadratic due to the underlying Newton type method. However, it was recently noticed that if the general necessary conditions of optimal control are applied to state constrained problem formulations from aerospace engineering the method decelerates often to a slow linear rate of convergence. We identify the culprit, namely the appearance of a quadratic control component in the optimal control problem and certain boundary and/or interior point conditions. Finally we provide a reformulation of these boundary and/or interior point conditions in order to avoid this situation.

The reformulation of the boundary-value problem is especially helpful for more efficient solutions of state constrained trajectory optimization problems with a drag polar of parabolic shape from aerospace engineering.

Keywords

Optimal Control Problem Multiple Shooting Space Vehicle Quadratic Control Trajectory Optimization Problem 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    Pesch, H. J.: A Practical Guide to the Solution of Real-Life Optimal Control Problems, Control and Cybernetics, 23, 1/2 (1994), 7–60.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  2. [2]
    Bryson, A. E.; Denham, W. F.; Dreyfus, S. E.: Optimal Programming Problems with Inequality Constraints I: Necessary Conditions for Extremal Solutions, AIAA Journal, 1 (1963), 2544–2550.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  3. [3]
    Jacobson, D. H.; Lele, M. M.; Speyer, J. L.: New Necessary Conditions of Optimality for Control Problems with State-Variable Inequality Constraints, Journal of Mathematical Analysis and Application, 35 (1971), 255–284.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  4. [4]
    Maurer, H.; Gillessen, W.: Application of Multiple Shooting to the Numerical Solution of Optimal Control Problems with Bounded State Variables, Computing, 15 (1975), 105–126.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    Hartl, R. F.; Sethi, S. P.; Vickson, R. G.: A Survey of the Maximum Principles for Optimal Control Problems with State Constraints, SIAM Review, 37, 2 (1995), 181–218.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. [6]
    Stoer, J.; Bulirsch, R.: Introduction to Numerical Analysis, Springer, New York, 19932.zbMATHGoogle Scholar
  7. [7]
    Ascher, U. M.; Mattheij, R. M. M.; Russel, R. D.: Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, SIAM, Philadelphia, 19952.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  8. [8]
    Bulirsch, R.: Die Mehrzielmethode zur numerischen Lösung von nichtlinearen Randwertproblemen und Aufgaben der optimalen Steuerung, Report der Carl-Cranz-Gesellschaft e.V., Oberpfaffenhofen, 1971. Reprint: Report des Sonderforschungsbereichs 255 Transatmosphärische Flugsysteme, Lehrstuhl für Höhere Mathematik und Numerische Mathematik, Techn. Univ. München, 1993.Google Scholar
  9. [9]
    Oberle, H. J.: Numerische Berechnung optimaler Steuerungen von Heizung und Kühlung für ein realistisches Sonnenhausmodell, Habilitation, Institut für Mathematik, Techn. Univ. München, 1982. Reprint: Report TUM-Math-8310, Institut für Mathematik, Techn. Univ. München, 1983.Google Scholar
  10. [10]
    Oberle, H. J.; Grimm, W.: BNDSCO — A program for the numerical solution of optimal control problems, user guide, Report DLR IB/515-89/22, Institut für Dynamik der Flugsysteme, Deutsche Forschungsanstalt für Luft-und Raumfahrt, Oberpfaffenhofen, 1989.Google Scholar
  11. [11]
    Kiehl, M.: Vektorisierung der Mehrzielmethode zur Lösung von Mehrpunkt-Randwertproblemen und Aufgaben der optimalen Steuerung, Dissertation, Institut für Mathematik, Techn. Univ. München, 1989. Reprint: Report No. 115, DFG-Schwerpunktprogramm Anwendungsbezogene Optimierung und Steuerung, Mathematisches Institut, Techn. Univ. München, 1989.Google Scholar
  12. [12]
    Hiltmann, P.: Numerische Lösung von Mehrpunkt-Randwertproblemen und Aufgaben der optimalen Steuerung mit Steuerfunktionen über endlichdimensionalen Räumen, Dissertation, Mathematisches Institut, Techn. Univ. München, 1990. Reprint: Report No. 448, DFG-Schwerpunktprogramm Anwendungsbezogene Optimierung und Steuerung, Mathematisches Institut, Techn. Univ. München, 1993.Google Scholar
  13. [13]
    Hiltmann, P.; Chudej, K.; Breitner, M.: Eine modifizierte Mehrzielmethode zur Lösung von Mehrpunkt-Randwertproblemen, Benutzeranleitung, Report No. 14, Sonderforschungsbereich 255 Transatmosphärische Flugsysteme, Lehrstuhl für Höhere Mathematik und Numerische Mathematik, Techn. Univ. München, 1993.Google Scholar
  14. [14]
    Oberle, H. J.: On the Numerical Computation of Minimum-Fuel, Earth-Mars Transfer, Journal of Optimization Theory and Applications, 22, 3 (1977), 447–453.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  15. [15]
    Decker, D. W.; Kelley, C. T.: Newton’s Method at Singular Points I,II. SIAM J. Numer. Anal., 17 (1980), 66–70, 465-471.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  16. [16]
    Bryson, A. E.; Ho, Y.-C: Applied Optimal Control, Hemisphere Publ. Corp., Washington, D.C., 19752.Google Scholar
  17. [17]
    Hiltmann, P.: Private communication, 1993.Google Scholar
  18. [18]
    Miele, A.: Flight Mechanics I, Theory of Flight Paths, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1962.Google Scholar
  19. [19]
    Bulirsch, R.; Chudej, K.: Combined Optimization of Trajectory and Stage Separation of a Hypersonic Two-Stage Space Vehicle, Zeitschrift für Flugwissenschaften und Weltraumforschung, 19, 1 (1995), 55–60.Google Scholar
  20. [20]
    Chudej, K.: Optimale Steuerung des Aufstiegs eines zweistufigen Hyperschall-Raumtransporters, Dissertation, Fakultät für Mathematik, Techn. Univ. München, 1994.Google Scholar
  21. [21]
    Mehlhorn, R.: Integrierte Arbeitsumgebung zur numerischen Berechnung von Problemen der optimalen Steuerung, Dissertation, Fakultät für Maschinenwesen, Techn. Univ. München, 1996.Google Scholar
  22. [22]
    Hiltmann, P.: A Multiple Shooting Algorithm for Multipoint Boundary Value Problems, Report No. 17, Sonderforschungsbereich 255 Transatmosphärische Flugsysteme, Lehrstuhl für Höhere Mathematik und Numerische Mathematik, Techn. Univ. München, 1994.Google Scholar
  23. [23]
    Kiehl, M.: Smoothing the Function of the Multiple-Shooting Equation, Applied Mathematics and Optimization, 24 (1991), 171–181.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1998

Authors and Affiliations

  • Kurt Chudej
    • 1
  1. 1.Sonderforschungsbereich 255 Transatmosphärische FlugsystemeTechnische Universität MünchenMünchenGermany

Personalised recommendations