K-Endomorphismen, Elementarteiler und Normalformenprobleme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel soll die allgemeine Theorie der K-Endomorphismen dargestellt werden und zusammen mit der Elementarteilertheorie zur Lösung der Normalformenprobleme für Matrizen verwendet werden. Auf die Untersuchung spezieller Endomorphismen, die mit zusätzlichen Strukturen verträglich sind, kommen wir in Kapitel III in der Fortsetzung dieses Buches zurück. Dazu führen wir die Überlegungen der Paragraphen 2 und 3 in zwei zunächst verschiedenartig aussehenden Richtungen weiter und zeigen dann, wie durch Zusammenfügung dieser Theorien ein zentrales Problem der linearen Algebra und der Matrizentheorie zu einem inhaltlich durchsichtigen Abschluß gebracht werden kann. Während in §3, aufbauend auf der Theorie der K-Vektorräume, Allgemeines über die Gesamtheit Hom _K (V, W) K-linearer Abbildungen ϕ hergeleitet wurde, wollen wir uns hier mehr für ein ϕ ∈ Hom _K (V, W) als Einzelobjekt interessieren. Dabei werden wir uns damit beschäftigen, wie eine solche lineare Abbildung, insbesondere ein K-Endomorphismus, auf Teilräume und einzelne Vektoren wirkt; die Untersuchung algebraischer Eigenschaften von ϕ (als Element einer algebraischen Struktur) gehört hierzu ebenso, wie der Zusammenhang mit der Matrizentheorie und die sich stellenden Normalformenprobleme.