Un exemple d’obstruction géométrique à l’extension des fonctions holomorphes bornées

Résumé

Si D est un domaine borné pseudoconvexe de ℂ ⁿet X un sous-ensemble analytique fermé de D (par exemple X = {z ∈ D/f (z) = } où f est une fonction holomorphe sur D) nous savons, d’après le théorème de Cartan, que l’opérateur de restriction r: hol(D)→ hol(X), f ↦ f/X est surjectif. Une question naturelle est d’étudier ce problème d’extension de fonctions holomorphes avec des conditions de croissance. Plus précisément, si l’on suppose que X n’a pas de singularité (c’est-à-dire X est une sous-variété complexe de D), étant donné f ∈ hol(X) ∩ L ^q (X) peut-on trouver F ∈hol(D) ∩ L ^q (D) avec F = f sur X (pour 1 ≤ q ≤ ∞)? Si D est un domaine strictement pseudoconvexe, les réponses à ce problème sont bien connues; nous allons citer quelques résultats.