Hasse principle for pencils of curves of genus one whose jacobians have a rational 2-division point

Résumé

Une série d’articles exploite une nouvelle technique qui mène à des conditions suffisantes d’existence et de densité des points rationnels sur certaines surfaces fibrées en courbes de genre un au-dessus de la droite projective. Dans les premiers articles de cette série (plusieurs articles de Swinnerton-Dyer, un article en collaboration de Skorobogatov, Swinnerton-Dyer et l’auteur), la jacobienne de la fibre générique des surfaces considérées a tous ses points d’ordre 2 rationnels. Un article récent de Bender et Swinnerton-Dyer traite de cas où cette jacobienne possède seulement un point d’ordre 2 non trivial (pour que la méthode fonctionne, il semble nécessaire que la jacobienne possède un point de torsion rationnel non trivial). Le présent article est une réécriture de celui de Bender et Swinnerton-Dyer. La principale contribution est une reformulation plus abstraite des hypothèses principales des théorèmes. La première hypothèse est formulée de façon entièrement algébrique (certains groupes de Selmer algébrico-géométriques sont supposés petits) et la seconde hypothèse est simplement: “Il n’y a pas d’obstruction de Brauer-Manin verticale”. Comme dans la plupart des articles de cette série, les résultats dépendent de deux conjectures difficiles: l’hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich.