Zusammenfassung
Es war einmal ein Mann mit Namen Thales — um 600 v. Chr. —, der das erfand, was wir „Wissenschaft“ nennen.
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Referenzen
Zur Zeit von Thales besaßen beide Zivilisationen eine lange mathematische Tradition und hatten ansehnliches arithmetisches und geometrisches Wissen angesammelt. Der Grad, bis zu dem diese Mathematik bereits abstrakt oder deduktiv aufgebaut war, als die Griechen sie übernahmen, ist umstritten, sicherlich war sie aber nicht in Form deduktiver Systeme organisiert, wie die Griechen sie kurz darauf konstruierten.
Es heißt, Hippasos von Metapontum sei von den anderen Pythagoräern wegen seiner liberalen politischen Ansichten ausgestoßen worden. Über dies und die Entdeckung, daß (math) nicht rational ist, hinaus, ist von ihm nur bekannt, daß er die Eigenschaften des regulären Dodekaeders (siehe Abb. 3) untersuchte.
Das kann man auch so ausdrücken: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Hier ist ein algebraischer Beweis der letzten Aussage. Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die zweimal eine andere ganze Zahl ist; algebraisch gesprochen ist eine ganze Zahl eine Zahl der Form 2k, wobei k eine ganze Zahl ist. Eine ungerade Zahl kann als eine Zahl definiert werden, die um 1 kleiner ist als eine gerade Zahl, so daß algebraisch gesprochen eine ungerade Zahl eine Zahl von der Form 2k - 1 ist, wobei k eine ganze Zahl ist. Um zu beweisen, daß das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist, müssen wir also zeigen, daß das Quadrat einer Zahl der Form 2k - 1 ein Ergebnis derselben Gestalt liefert. Das Quadrat von 2k - 1 ist 4k 2-4k + 1 = 4k 2-4k+ 2–1 = 2(2k 2 -2k +1) - 1. Daß dieses letzte Ergebnis ungerade ist, kann direkt abgelesen werden, indem man bemerkt, daß es um 1 kleiner ist als die gerade Zahl 2(2k 2 -2k + 1) (diese Zahl ist gerade, weil sie das Doppelte der ganzen Zahl 2k 2 -2k +1 ist); alternativ könnten wir ein neues Symbol, sagen wir t, für die ganze Zahl 2k 2 -2k + 1 einsetzen, wodurch 2(2k 2-2k + 1) - 1 in 2t - 1 umgewandelt würde, welches die Form einer ungeraden Zahl hat und daher ungerade ist.
Die Irrationalität von (math) bedeutet, daß (math) nicht durch ganze Zahlen und eine endliche Anzahl von Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen ausdrückbar ist. Es ist erstaunlich, daß es möglich ist, mit solch simplen Werkzeugen (das Kürzen rationaler Zahlen, die Unterscheidung zwischen gerade und ungerade, die Tatsache, daß nur gerade Zahlen gerade Quadrate haben) ein solch tiefgründiges mathematisches Resultat herzuleiten
Wann man sich in der mathematischen Welt für die Logik entschied, ist allerdings heftig umstritten. Möglicherweise sind Jahrzehnte verstrichen, bevor ein Konsens erreicht war. Plato kritisierte die Mathematiker noch bis ins 4. Jh. v. Chr. wegen des Fehlens eines strengen logischen Standards.
Chios ist eine Insel in der Nähe von Samos in der Ägäis, wo Hippokrates geboren wurde. Sein Geburtsort wird stets im Zusammenhang mit seinem Namen erwähnt, um ihn nicht mit seinem besser bekannten Zeitgenossen, dem „Vater der Medizin“ Hippokrates von Kos zu ver-wechseln(Kos ist eine andere Insel in der Ägäis), dessen Ideale im hippokratischen Eid, der einst von den Abgängern der medizinischen Schulen geschworen wurde, erhalten geblieben sind. Unser Hippokrates studierte vermutlich Mathematik auf Chios und verbrachte dann einen großen Teil seines späteren Lebens in Athen, das damals zum Zentrum mathematischer Aktivitäten aufstieg. Er stand den Pythagoräern mindestens wohlwollend gegenüber, vielleicht war er sogar einer von ihnen. Seine „Blütezeit“, wie die Historiker sagen, lag um 430 v. Chr., was wohl heißen soll, daß er damals in den besten Jahren war.
Ein Buch namens Elemente stammte von einem Mathematiker namens Leon, von dem wir nichts wissen außer seinem Namen, und daß seine Blütezeit um 380 v. Chr. lag. Ein weiterer, kurze Zeit später, war Theudios von Magnesia, der ein Mitglied von Platos Akademie war.
Es handelt sich um Ptolemaios I Soter, einen früheren General unter Alexander dem Großen und den ersten in einer Reihe griechischer Regenten von Ägypten, die mit Kleopatra VII (der berühmten Kleopatra) im Jahre 30 v. Chr. endete, nicht zu verwechseln mit Claudius Ptolemäus, dem Astronomen, der in Alexandria ungefähr um 150 n. Chr. arbeitete.
Eves, S. 11. (Literaturangaben, die nur aus dem Autorennamen bestehen, beziehen sich auf die im Literaturverzeichnis angegebenen Titel.)
Ein Beispiel ist das Prinzip der vollständigen Induktion: Jede Behauptung, die wahr ist für die ganze Zahl 1 und die, wenn immer sie für eine positive ganze Zahl wahr ist, auch für die unmittelbar darauffolgende ganze Zahl zutrifft, ist wahr für jede positive ganze Zahl. Dieses Prinzip verwendet man z.B., um zu beweisen, daß die Aussage 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n 2 für jede ganze positive Zahl n wahr ist, was nichts anderes heißt, als daß das Schema unendlich weitergeht. Das Prinzip ist nur in der Mathematik anwendbar, weil in keiner anderen Wissenschaft Aussagen über unendliche Mengen von Objekten getroffen werden.
Die Schildkröte bezieht sich auf Zeno von Elea (Blütezeit ungefähr 450 v. Chr.), Autor einer Anzahl berühmter Paradoxa, die seinen Namen tragen und über deren Implikationen nach wie vor debattiert wird. Eines davon, das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte, lautet folgendermaßen (aus: Carruccio, S. 33–34): Mathematics and Logic in History and in Contemporary Thought „Der schnelle Achilles und die langsame Schildkröte kommen überein, ein Wettrennen zu veranstalten. Das Paradoxon besteht in dem Beweis, daß Achilles, wenn er der Schildkröte einen Vorsprung gewährt, diese niemals einholen kann. Sei Achilles an der Stelle A und die Schildkröte bei S. Das Wettrennen findet längs der Geraden statt (siehe Abb. 5).... Sobald Achilles das Startsignal zum Beginn des Rennens hört, saust er von A nach S, schneller, als man es aussprechen kann, aber wenn er dort anlangt, ist die Schildkröte nicht länger bei S, sondern ein Stück weiter voraus, bei S′. Achilles erreicht S’, doch die Schildkröte ist schon nicht mehr bei S′: sie ist schon ein Stück voraus, bei S′ usw. ad infinitum. Um die Schildkröte einzuholen, muß Achilles die unendlich vielen Strecken AS, SS′, S′ S″,... zurücklegen; unendlich viele Strecken hinter sich zu bringen, benötigt unendlich viel Zeit, und daher wird er niemals die Schildkröte einholen. Mathematiker haben darauf eine Antwort: Es ist wahr, daß die Anzahl der Segmente AS, SS′, SS″, ...unendlich ist, aber ihre Summe ist eine endliche Strecke, die man in einer endlichen Zeit zurücklegen kann und die man als Summe einer geometrischen Progression mit gemeinsamem Verhältnis kleiner als 1 berechnen kann. Ist AS = 100mal der Einheitslänge und ist die Geschwindigkeit von Achilles 10mal so hoch wie die Geschwindigkeit der Schildkröte, dann hat die Strecke, die Achilles zurücklegen muß, um die Schildkröte einzuholen, die Länge: Carrols Geschichte beginnt unmittelbar, nachdem Achilles die Schildkröte eingeholt hat.
Aus: Carroll, Lewis: What the Tortoise said to Achilles. Mind, Oxford University Press, New Series, 4(1895), S. 278–80
Rosser, S. 11.
Mendelson, Elliott: Introduction to Mathematical Logik. New York: Van Nostrand, 1979, S. 2–4
Gardner, Martin: „Mathematical Games“. In: Scientific American, März 1963.
Borges, Jorge Luis: „Avatars of the Tortoise“. In: Labyrinths. New Directions Publishing, 1962.
Teile des Materials aus diesem Abschnitt stammen aus Greenberg, S. 32–34.
In den zwanziger Jahren war Hardy nach eigener Einschätzung der fünftbeste reine Mathematiker in der Welt. In seinen späteren Jahren, als seine Fähigkeit, neue Mathematik zu schaffen, abnahm, verlegte er sich auf das Schreiben erstklassiger Lehrbücher und des wundervollen Buches A Mathematician’s Apology, einer Rechtfertigung seines Lebenswerkes aus hauptsächlich ästhetischen Gründen (Cambridge: Cambridge University Press, 1969). Der Erzähler und Bühnenautor Graham Greene schrieb in einer Rezension über die Apology: Ich kenne keinen Text — mit Ausnahme vielleicht von Henry James’s Introductory Essays — der so klar und ohne jedes Getue die Leidenschaft des schaffenden Künstlers ausdrückt. Seit 1967 ist den Nachdrucken von A Mathematician’s Apology ein bewegendes Vorwort von Hardys langjährigem Freund, dem Autor und Physiker C. P. Snow vorangestellt.
Hardy, A Mathematician’s Apology, a.a.O., S. 94.
Aus Eves, S. 15.
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Trudeau, R. (1998). Grundlagen. In: Die geometrische Revolution. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7829-6_1
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