Funktionenfolgen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel steht einmal mehr die Approximationsidee im Zentrum unseres Interesses. Es ist, wie auch das zweite Kapitel, Folgen und Reihen gewidmet. Allerdings befassen wir uns hier mit der komplexeren Situation von Folgen, deren Glieder Funktionen sind. In diesem Fall gibt es zwei Möglichkeiten: Wir können solche Folgen lokal betrachten, also in jedem Punkt, oder global. Im letzteren dieser Fälle ist es natürlich, die Glieder der Funktionenfolge als Elemente eines Funktionenraumes aufzufassen. Dann sind wir wieder in der Situation von Kapitel II. Sind die betrachteten Funktionen alle beschränkt, so handelt es sich um eine Folge im Banachraum der beschränkten Funktionen, und wir können alle Resultate über Folgen und Reihen, die wir im zweiten Kapitel entwickelt haben, anwenden. Diese Idee ist äußerst fruchtbar und erlaubt kurze und elegante Beweise. Auch macht sie die Vorteile des allgemeinen Rahmens, in welchem wir die Grundbegriffe der Analysis entwickeln, zum ersten Mal richtig klar.