Zur Geometrie der Bahnen Reeller Reduktiver Gruppen

Zusammenfassung

Sei G eine über R definierte reduktive algebraische Gruppe und G _R die Gruppe ihrer reellen Punkte. In diesem Aufsatz betrachten wir einige geometrische Eigenschaften der Bahnen von G _R , unter einer linearen algebraischen Darstellung G _R , → GL(V) auf einem reellen Vektorraum V. Sei K ⊂ G _R , eine maximal kompakte Untergruppe. Gegebenenfalls nach Mittelung über K können wir dann die Existenz eines K-invarianten Skalarproduktes $\langle ,\rangle :$ V × V → R auf V annehmen. Unser Hauptinteresse gilt dem Verhalten der Längenfunktion $v \mapsto\langle v,v\rangle={\left\|v\right\|^2}$ bei Einschränkung auf eine G _R -Bahn. Diese Situation wurde bereits von Kempf und Ness [KN], [Ne] in dem Fall untersucht, daß G eine komplexe reduktive Gruppe und G _C → GL(W) eine komplexe Darstellung ist. Dabei erhält man eine Längenfunktion $w \mapsto \langle w,w\rangle$ mittels eines K-invarianten hermiteschen Skalarproduktes auf W. Da nur der Realteil dieses Skalarproduktes in die Untersuchung eingeht, läßt sich dieser Fall unter die von uns anvisierte Situation subsummieren. Unser Hauptziel ist es, die Resultate von Kempf und Ness in unserer allgemeineren Situation herzuleiten. Dabei werden wir auch von den Vereinfachungen Gebrauch machen, die deren Theorie in den Arbeiten [DK] und [PS] erhalten hat.