Korrespondenzen zwischen algebraischen Funktionenkörpern

Zusammenfassung

Unter einer Korrespondenz zwischen zwei Riemannschen Flächen R_l und R₂ versteht man eine in beiden Richtungen endlich vieldeutige und konforme Abbildung von R_l auf R₂ bzw. umgekehrt, wobei die Konformität in endlich vielen Ausnahmepunkten gestört sein darf. In § 1 wird diesem geometrischen Begriff einer Korrespondenz ein algebraischer an die Seite gestellt, in welchem die Riemannschen Flächen durch beliebige algebraische Funktionenkörper ersetzt werden. Die Korrespondenzen eines algebraischen Funktionenkörpers zu sich selber bilden einen assoziativen Ring. In § 2 werden Darstellungen dieses Ringes durch Matrizen studiert. Eine Reihe wichtiger Anwendungen der algebraischen Funktionentheorie auf die Zahlentheorie bauen auf dem Begriff der Korrespondenzen auf. In § 3 werden wir uns speziell mit den Korrespondenzen der Körper der Modulfunktionen zu sich beschäftigen, welche unter anderem zu tiefliegenden Erkenntnissen in der Zahlentheorie der quadratischen Formen führen. § 4 ist der Fortsetzung der allgemeinen Theorie und dem Beweis eines wichtigen Hauptsatzes gewidmet. Seine Bedeutung wird besonders an den fast überraschenden Konsequenzen klar, die aus ihm in § 5 gezogen werden. § 6 bringt endlich einen kurzen Bericht über die Korrespondenzen elliptischer Funktionenkörper.