Algebraische Funktionen über dem komplexen Zahlkörper

Zusammenfassung

Nachdem in Kapitel III die methodischen Grundlagen der Theorie entwickelt wurden, rücken von jetzt ab ihre Anwendungen auf konkrete Fälle und die damit gegebenen Probleme in den Vordergrund. Wir begegnen hier dem ältesten Bestande der Theorie. Die Impulse zur Entstehung einer mathematischen Disziplin werden immer im Laufe der Geschichte durch besondere Aufgaben gegeben, wobei man zunächst mit einem Minimum von methodischem Aufwand auszukommen hat. Erst in weiteren Entwicklungsphasen wird dann ein breiterer begrifflicher Ausbau vollzogen. Das Kapitel IV führt hauptsächlich in die Kenntnis zweier besonderer Klassen von Funktionen ein, der elliptischen Funktionen (§ 2) und der Modulfunktionen (§ 4), mit denen die tiefsten Anwendungen unserer Theorie verknüpft sind. Es dient einerseits zur Einübung und Befestigung der allgemeinen Begriffe, anderseits bereitet es auf das letzte Kapitel vor, welches begrifflich wieder weiterführt, aber auch Anwendungen auf zahlentheoretische Probleme bringt. § 1 handelt ganz kurz von dem Begriff der Riemannschen Fläche, und zwar nur in berichtender Form. An ausführlichen Darstellungen ihrer Theorie in der Lehrbuchliteratur mangelt es nicht. § 3 bringt das berühmte Abelsche Theorem, den Ausgangspunkt der modernen Theorie der Abelschen Mannigfaltigkeiten, die allerdings in diesem Buche nicht mehr zur Sprache kommen kann.