Quadriken

Zusammenfassung

Eine quadratische Gleichung

$$\sum\limits_{0}^{3} {{a_{{jk}}}{x^{j}}{x^{k}} = 0,{a_{{jk = {a_{{kj}}}}}}} $$

((1))

stellt eine Fläche zweiter Ordnung oder 𝔉₂ dar. Dabei sind die Marken j, k an den Punktzeigern x oben angebracht wie in 51. Die symmetrische Matrix 𝔄 der a _jk heißt die Matrix der 𝔉₂. Von ihrem Rang ϱ wird ϱ > 0 vorausgesetzt. Jeder Punkt 𝔯, der den vier Gleichungen genügt

$$\sum {{a_{{jk}}}{x^{k}} = 0} $$

((2))

heißt ein Doppelpunkt der 𝔉₂. 𝔉₂ mit d(𝔄) ≠ 0 sind doppelpunktfrei und heißen auch kurz Quadriken. Mit jeder Quadrik ist eine «involutorische Korrelation», nämlich die Polarität oder projektive Spiegelung an ihr verknüpft:

$$\sum {{a_{{jk}}}{x^{j}}{y^{k}} = 0,d(\mathfrak{A}) \ne 0} $$

((3))

.