Doppelverhältnis, Staudts Hauptsatz

Zusammenfassung

Aus 6 wissen wir: Sind x ⁽⁰⁾_j ,x ⁽¹⁾_j (j = 1, 2, 3, 4) die homogenen Zeiger zweier verschiedener Punkte, so beschreibt der Punkt mit den Zeigern

$${x_j} = {p_0}x_j^{(0)} + {p_1}x_j^{(1)}$$

((1))

die Punkte ihrer Verbindungsgeraden 𝔓_I, wenn das Paar (p ₀, p ₁) alle Wertepaare [(0, 0) ausgeschlossen] durchläuft. Da es nur auf das Verhältnis p ₀ : p ₁, das heißt auf die Verhältnisse der x _j ankommt, können wir auch

$$\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}} = 1$$

((2))

einführen und

$${x_j} = x_j^{(0)} + tx_j^{(1)}$$

((3))

setzen. Dabei geht aber zunächst der Punkt p ₀ = 0, p ₁ = 1 auf 𝔓_I verloren. Ihm wollen wir deshalb den uneigentlichen Wert t = ∞ zuordnen. Dann entsprechen die reellen (komplexen) Punkte von 𝔓_I ausnahmslos eindeutig den reellen (komplexen) t-Werten. Man nennt diese Verteilung der t-Werte auf unserer Geraden eine projektive Skala auf ihr. Sie hängt nur ab von der Wahl der Grundpunkte (p ₀ = 1, p ₁ = 0; t = 0), (p ₀ = 0, p ₁ = 1; t = ∞) und des Einheitspunktes (p ₀ = p ₁ = 1; t = 1) auf 𝔓_I.