Das Parallellineal

Zusammenfassung

Dies ist ein Lineal mit zwei parallelen Kanten. Jede derselben darf zum Zeichnen von geraden Linien verwendet werden. Das Instrument ist dabei so auf das Papier zu legen, daß zwei gegebene oder schon konstruierte Punkte (kurz zwei schon vorhandene Punkte) entweder auf der gleichen Kante liegen oder auf beide Kanten verteilt sind. Es ist klar, daß man mit diesem Instrument keine Aufgaben lösen kann, die sich nicht auch mit Zirkel und Lineal lösen lassen¹). Ich werde zeigen, daß umgekehrt alle Punkte, die mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, auch mit dem Parallellineal allein konstruiert werden können. Es ersetzt also vollständig Zirkel und Lineal, wenn man davon absieht, daß man damit natürlich keine Kreisperipherien zeichnen kann. Es leuchtet zunächst ein, daß man mit dem Parallellineal ein Parallelogramm konstruieren kann. Man kann demnach, wie mit dem Lineal allein, alle Punkte konstruieren, deren Koordinaten sich rational aus den Koordinaten schon vorhandener Punkte darstellen lassen in bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Einheitsstrecken zwei Seiten eines solchen Parallelogramms sind. Der Beweis des ausgesprochenen Satzes beruht nun darauf, daß man mit dem Parallellineal durch einen vorhandenen Punkt die Tangenten an einen Kreis mit vorhandenem Mittelpunkt ziehen kann, dessen Radius dem Abstand der beiden Kanten des Parallellineals gleich ist.