Gleichungen, in denen Veränderliche nicht nur unter Funktionenzeichen vorkommen

Zusammenfassung

Wie in der geschichtlichen Einleitung erwähnt wurde, war die Funktionalgleichung der homogenen Funktionen eine der ersten Funktionalgleichungen in unserem Sinne, die eingehend behandelt wurde. Der einfachste Fall, der eben wegen seiner Trivialität meist unerwähnt bleibt, ist der der „homogenen“ Funktionen einer Veränderlichen, die also der Funktionalgleichung

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(25)

genügen. Wir setzen hier x = 1 (falls dieser Wert nicht zum Definitionsgebiet von f gehört, so verfährt man ähnlich mit einer anderen Konstanten x = a, was, wie man leicht sieht, zum selben Ergebnis führt):

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und dies zeigt schon, daß die allgemeine Lösung von (25) nur von der Gestalt

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(26)

sein kann, die die Gleichung (25) auch wirklich erfüllt. Hier haben wir gar keine Einschränkungen bezüglich der Regularität und fast keine bezüglich des Definitionsbereiches der Funktion f getroffen, diese kann zum Beispiel auch als eine-Funktion der komplexen Veränderlichen x (oder gar von Matrizen usw.) genommen werden. In allen diesen Fällen wird die allgemeinste Lösungsfunktion von (25), über die wir von vornherein nichts vorausgesetzt haben, immer von der Gestalt (26) (also stetig usw.) sein.