Ein Elementarer Beweis des Satzes von Krein

Zusammenfassung

In [4] beweist Krein die Existenz von Gauß-Formeln für beliebige Tschebyscheff-Systeme T und Stieltjes-Integrale ${a^{\int {^b} }}f(t)\,d\sigma (t)$ mit monotonemσ. Bewichtete Integrale erhält man bei absolutstetigemσ, wobei man üblicherweise voraussetzt, daß der Träger supp[dσ] mit dem Intervall [a,b] übereinstimmt. Diesem etwas spezielleren Fall gelten unsere folgenden Betrachtungen (obwohl einige unserer Aussagen für beliebiges monotonesσ gültig bleiben).Gauß-Formeln für T sind dann Quadraturformeln

$$ {a^{\int {^b} }}f(x)\,d\sigma (x) = \sum\limits_{i = 1}^m {{a_i}f({x_i})\quad ,f \in T,} $$

((1))

mit reellen Gewichten a_i. und einer minimalen Anzahl von Knoten x_i, a ≤ x₁ < x₂ < ... < x_m ≤ b.