Interpolation Zonaler Harmonischer Funktionen

Zusammenfassung

Eine Funktion f: ℝⁿ⁺¹ → ℂ (n≥1) heißt radial, falls f stabil ist gegen alle (orientierungserhaltenden) orthogonalen Transformationen des ℝⁿ⁺¹, falls also für jeden Punkt x ∈ ℝⁿ⁺¹ die Beziehung

$$f(x) = f(sx)(s \in SO(n + 1))$$

gilt. Dabei bezeichnet SO(n+1) die spezielle orthogonale Gruppe in n+1 (reellen) Variablen. Eine radiale Funktion f ist demnach auf jeder n-Sphäre r.$_n (r≧O) um den Nullpunkt des ℝⁿ⁺¹ constant und induziert somit eine Funktion f : ℝ₊ → ℂ gemäß

$$f(x) = {f_o}(\left| x \right|)(x \in I{R^{n + 1}})$$

, wobei ∣•∣ die vom Skalarprodukt (.∣.) induzierte euklidische Norm des Vektorraumes ℝⁿ⁺¹ bezeichnet. Umgekehrt wird durch jede Funktion f : ℝ₊ → ℂ mit Hilfe der Zuordnung

$$f:x \to {f_o}(\left| x \right|)$$

eine radiale Funktion f: ℝ_n+1 → ℂ definiert. Trotz dieser Korrespondenz ist natürlich die Theorie der radialen Funktionen keineswegs “eindimensionalen Charakters”. Dies erkennt man beispielsweise, wenn man die Fourier-Transformierte Tf = F einer radialen Funktion f ∈ L¹ (ℝⁿ⁺¹) berechnet.