Der Wertebereich des Trapezverfahrens

Zusammenfassung

Für den Rest der Trapezformel

$${R_N}[f]: = \int\limits_0^1 {f(x)dx - \frac{1} {n}\{ \frac{1} {2}f(O) + \sum\limits_{v = 1}^{n - 1} {f(\frac{v}{n}) + \frac{1} {2}f(1)} \} } $$

finden sich in der Literatur zahlreiche Abschätzungen (siehe z. B. Braß [1] Abschnitt V,2). Ausgangspunkt dieser Note ist die Bemerkung, daß gewisse Restschranken unverbesserbar sind und dennoch ein falsches Bild über das Verhalten des Fehlers geben. Typisch ist der folgende Fall: Genügt f einer Lip-schitzbedingung der Ordnung 1 mit der Lipschitzkonstanten L, so ist

$$|{R_n}[f]| \leqslant \frac{L}{{4n}}$$

((1))

und diese Abschätzung ist unverbesserbar in dem Sinn, daß es (für jedes n) eine nichttriviale Funktion gibt, für die hier das Gleichheitszeichen steht. Es gilt aber — sogar für die umfassendere Klasse der totalstetigen Funktionen — die Beziehung

$${R_n}[f] = o({n^{ - 1}})$$

((2))

es wird somit der Fehler durch (1) für jedes f und fast alle n erheblich überschätzt.