Die Entdeckung der irrationalen Zahlen

Zusammenfassung

Die Entdeckung dieser „Lücken“ wird Pythagoras zugeschrieben, dem Gründer der berühmten pythagoreischen Schule, die in Griechenland im 6. Jahrhundert v. Chr. vor allem in der Mathematik und Philosophie richtungweisend war. Das Leben des Pythagoras ist von einem Schleier des Geheimnisses umgeben, und das Wenige, was wir über ihn wissen, ist wohl auch mehr Legende als Wahrheit. Dies liegt zum Teil daran, daß kaum Dokumente aus jener Zeit erhalten sind, ein anderer Grund ist aber auch, daß die Pythagoreer einen geheimen, dem Mystizismus verschriebenen Orden bildeten, dessen Mitglieder sich einer strengen Gemeinschaftsordnung unterwarfen. Es wird manchmal bezweifelt, daß die Pythagoras zugeschriebenen Entdeckungen wirklich von ihm selbst stammen; unbestritten ist jedoch, daß seine Lehre die Entwicklung der Mathematik in den folgenden zwei Jahrtausenden nachhaltig beeinflußt hat. Unsterblich verknüpft ist sein Name natürlich mit dem berühmten Satz des Pythagoras, der das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks beschreibt, obwohl es mittlerweile sichere Anhaltspunkte dafür gibt, daß der Satz bei den Babyloniern und den Chinesen schon mindestens 1000 Jahre früher bekannt war. Der Satz besagt, daß in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist: c ² = a ² + b ² (Abb. 8.1). Der Satz des Pythagoras ist wahrscheinlich der bekannteste und sicherlich der am meisten benutzte Satz in der gesamten Mathematik. Direkt oder indirekt taucht er in fast jedem Zweig der Mathematik auf.

Der Versuch, die Arithmetik der rationalen Zahlen auf ein geometrisches Problem anzuwenden, führte zur ersten Krise in der Geschichte der Mathematik. Zwei relativ einfache Probleme — die Bestimmung der Diagonalen eines Quadrats und die Bestimmung des Kreisumfangs — brachten die Existenz neuer mathematischer Gebilde zum Vorschein, die sich nicht in die Menge der rationalen Zahlen einordnen ließen.

Tobias Dantzig (1884–1956)