Inversion am Kreis

Zusammenfassung

Man kann sich eine Funktion auch als eine Art Transformation oder „Abbildung“ der x-Achse auf die y-Achse vorstellen, wobei es sich bei den beiden Achsen um eindimensionale Punktmengen handelt. In der höheren Mathematik gibt es auch Transformationen zweidimensionaler Punktmengen in andere zweidimensionale Punktmengen, das heißt, Transformationen einer Ebene in eine andere Ebene. Eine der interessantesten Transformationen dieser Art ist die Inversion, oder genauer gesagt, die Inversion am Einheitskreis. Gegeben sei ein Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 1; zu jedem Punkt P mit dem Abstand r von O (r = OP) gibt es einen Bildpunkt Q, der auf dem gleichen Strahl wie O und P liegt und von O den Abstand OQ = 1/r hat (Abb. 12.1). Auf diese Weise erhalten wir zwischen den Punkten der ursprünglichen und denen der neuen Ebene eine eindeutige Entsprechung: Jeder Punkt der einen Ebene wird auf einen Punkt der anderen Ebene abgebildet.¹ Zu dieser Regel gibt es nur eine Ausnahme, nämlich den Punkt O selbst. Um dies zu verstehen, beobachten wir, wie sich der „Bildpunkt“ Q verändert, wenn sich P in der Ebene bewegt. Entsprechend unserer Abbildungsvorschrift muß OQ = 1/r = 1 /OP sein. Je näher also P bei O liegt (das heißt, je kleiner der Wert von r ist), desto weiter entfernt sich Q von O. Für P → O gilt also, daß Q gegen unendlich strebt. Der Punkt O hat folglich keinen endlichen Bildpunkt, und wir müssen ihn daher aus unserer Transformation ausschließen.² Die Versuchung ist jedoch groß, einen „Punkt“ zu definieren, den unendlich fernen Punkt, der bei Inversion das Abbild von O ist. Natürlich ist dieser „Punkt“ kein wirklicher Punkt, zumindest nicht im üblichen Sinne: Man kann ihm weder einen Ort in der Ebene zuordnen, noch ist durch ihn selbst ein Ort eindeutig bestimmt, wie dies durch einen Punkt üblicherweise geschieht. Der Zweck dieser Definition besteht allein darin, die Transformation ohne Einschränkungen zu ermöglichen. In dieser Bedeutung — und zwar ausschließlich in dieser Bedeutung — sind folgende Gleichungen zulässig:

$$1/0 = \infty ,\quad 1/\infty = 0$$

O Gott, ich könnte in eine Nußschale eingesperrt sein und mich für einen König von unermeßlichem Gebiete halten.

William Shakespeare (1564–1616), Hamlet, 2. Akt., 2. Szene