Variationsrechnung und Mechanik

Zusammenfassung

Schon in der Schulé lernt man die Schreibweise y = f(x) kennen; sie kennzeichnet den Sachverhalt, daß den Werten der unabhängigen Veränderlichen x nach irgendeiner Vorschrift (zum Beispiel der des Potenzierens, Addierens, Wurzelziehens usw.) die entsprechenden Werte der abhängigen Veränderlichen y zugeordnet sind. Man pflegt dann diesen Zusammenhang in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit den Achsen x und y zu versinnbildlichen (quasi «sichtbar» zu machen), und lernt auch, solche Funktionen zu diskutieren, das heißt ihren kurvenmäßigen Verlauf in dem erwähnten Koordinatensystem zu skizzieren. Eine wesentliche Rolle bei dieser Charakterisierung des geometrischen Bildes einer Funktion spielt die Steigung der Kurve, die angibt, wie «schnell» sich die Funktion y ändert, wenn wir zu benachbarten Werten von x übergehen. Ein Maß für die Steigung einer Kurve an der Stelle x ist offenbar der gegen die positive x-Achse gemessene Winkel ϑ der in diesem Punkte P an die Kurve gelegten Tangente T (Bild 37). Schon in der Schule und

später — in vertieften Ausführungen — an der Universität wird gezeigt, daß der Tangens dieses Winkels ϑ der Ableitung y′ = f′(x) oder dem Differentialquotienten dy/dx gleich ist:

$$y' = f'\left( x \right) = \frac{{dy}}{{dx}} = \tan \vartheta $$

.

Da nämlich der Plan des Universums der vollkommenste ist ... Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen in der Welt aus den Endursachen mit Hilfe der Methode der Maxima und Minima gleich gut bestimmt werden können wie aus den bewirkenden Ursachen.

Leonhard Euler